Ряд коммутантов периодической АТ-группы:продольный порождающий d=(d,c,c^(-1),1,1)

Такие слова называются сокращёнными.«Положительное слово» обозначает, что в рассматриваемых записях не присутствуют элементы и т. д. Поскольку у всех этих образующих порядок равен 2, т. е. они сами себе обратны, то это необременительное условие.Сокращённое слово представляет собой элемент из стабилизатора StG[1] тогда и только тогда, когда это слово включает в себя чётное число вхождений a.Если w — сокращённое слово чётной длины с положительным чётным числом появлений a, то есть некоторые слова u, v, записанные через a, b, c, d (не обязательно сокращённые), такие, что в G есть Если w — сокращённое слово нечётной длины с положительным чётным числом вхождений a, то подобное утверждение тоже верно, но неравенства принимают вид:Последнее свойство играет самую важную рольв большинстве доказательствах, потому чтос ним можно использовать индукцию по длине слова.Выводы по главе 1Описание нормальных подгрупп в группе очень важно для понимания структуры группы. Для этого мы рассмотрели основы теории групп разобрали некоторые определения с доказательствами и пришли к определенным выводам которые описаны ниже.Локально конечные группы это группа у которой каждая конечно порожденная группа является конечной, и каждое конечное подмножество содержится в конечной подгруппе. АТ-группы которые мы рассматривали в этой главе над локально конечным деревом являются финитно аппроксимируемыми, благодаря чему они насыщены нормальными подгруппами конечного индекса. Тем не менее в большинствеслучаяхАТ- группа не имеетникаких остальных неединичных нормальных подгрупп. Группу, не имеющую неединичных нормальных подгрупп бесконечного индекса, Ю.И. Мерзляков предложил называть оо— простыми. В случае произвольной АТ- группы над локально конечном деревом нами устанавливается некоторое достаточное условие оо - простоты, а в случае нечетных АТУ - групп даются необходимые и достаточные условия.Разобрали что такое конечно порожденные группы. Рассмотрели доказательства, что если подмножества группы коммутируют поэлементно то и коммутируют как подмножества. В курсовой работе каждая АТ- группа вложима в АТ- группу, факторизуемую локально конечными группами. Более того, если исходная группа, была конечно порожденной периодической, то и факторизуемая локально конечными группами АТ- группа, в которую она вложима, тоже является конечно порожденной периодической. Рассмотрели ответ на вопрос Милнора. Ответ был дан Григорчуком в виде построения примера через своё действие на бесконечном полном двоичном дереве промежуточного роста.ЗАКЛЮЧЕНИЕВданнойкурсовойработемыразобралитеориюгруппобъектамикоторойявляютсяабстрактныекоммутативныегруппы, рассмотрелинесколькодоказательств. Изучиликонечнопорожденныеабелевыгруппыивыделилидлясебянеобходимыеопределения. РассмотрелиизвестныйпримеррешениявопросазадачиМилнора - группуГригорчука.МожносделатьвыводчтоизпроведенногоисследованияизучениеАТ-группявляетсяважнейшейчастьюсовременнойалгебры. Первая глава содержить теоретическу часть. Вторая часть - практические решения построения АТ-группы с продольным порождающим. При написании курсовой работы была изучена специальная литература: научные труды, статьи, зарубежная литература. В результате выполненной работы мы овладели методами исследований, используемыми в комбинаторных теориях алгебраических систем, теории графов, теории групп автоморфизмов деревьев. Добились выполнения цели путем решения поставленных задач.СПИСОКИСПОЛЬЗОВАННОЙЛИТЕРАТУРЫ1. Адян С.И. Проблема Вернсайда и тождества в группах. М.: Наука, 1975.2. Алешин C.B. “Автоматы в алгебре”, Фундамент. и прикл. матем., 15:3 (2009).3. Алешин C.B. Конечные автоматы и проблема Бернсайда о периодических группах // Мат. заметки. 1972. Т. 11, N 3.4. РожковА. В. “Периодические AT-группы над циклическими группами”, Вестник ЧелГУ, 2003, № 9.5. Григорчук Р.И. К проблеме Бернсайда о периодических группах // Функцион. анализ и его приложения. 1980. Т. 14, N 1.6. Григорчук Р. И. Степени роста конечно-порожденных групп и инвариантное среднее // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1984. Т.48, N 5.7. Григорчук Р.И. Конструкция р—групп промежуточного роста, обладающих континуумом фактор-групп // Алгебра и логика. 1984. Т. 23, N 4. 8. Григорчук Р.И. О степенях роста р— групп и групп без кручения // Мат. сб. 1985. T. 12G, N 2.9. ПервоваЕ. Л. “Конгруэнц-свойство АТ-групп”, Алгебра и логика, 41:5 (2002).10. Губа B.C. Конечно-порожденная полная группа // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1986. Т. 50, N 5. 11. ПервоваЕ. Л. “Всюду плотные подгруппы одной группы автоморфизмов дерева”, Динамические системы, автоматы и бесконечные группы, Сборник статей, Труды МИАН, 231, Наука, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2000.12. РожковА. В. “Нижний центральный ряд одной группы автоморфизмов деревьев”, Матем. заметки, 60:2 (1996).13. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. М.: Наука, 1982.14. Кострикин А.И. О проблеме Бернсайда // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1959. Т. 23, N 1.15. Кострикин А.И. Вокруг Бернсайда. М.: Наука, 1986.16. Коуровская тетрадь: Нерешенные вопросы теории групп. 13-е изд. Новосибирск, 1995.17. Левчук В.М. Замечание к теореме Л. Диксона // Алгебра и логика. 1983. Т. 22, N 4.18. Лысенок И.Г. Бесконечность бернсайдовых групп периода 2к при к > 13 // Успехи матем. наук. 1992. Т. 47, N 2.19. Лысенок И.Г. Система определяющих соотношений для группы Григорчука // Мат. заметки. 1985. Т.38, N 4.20. Лысенок И.Г. О проблеме Бернсайда для нечетных показателей п > 115 // Тез. докл. по теории групп. Междунар. конф. по алгебре. Новосибирск, 1989.