Функция и плотность распределения случайной величины. Базовые характеристики случайной величины.

Свойства дисперсии:1) Дисперсия постоянной величины равна нулю.2) D(XY) D(X) D(Y) , где Х и Y – случайные величины. 3) D(cX)c2D(X), где с – постоянная величина. 4) D(XY) D(X) D(Y) , где Х и Y – случайные величины.5) D(X) M(X2) (M(X))2.Пример: Дисперсия случайной величины X равна 3. Найдем дисперсию следующих величин: а) 3X; б) 4X+3.По свойствам дисперсии имеем:а) D(3X) = (3)2D(X)=9D(X) = 93= 27б) D(4X+3) =D(4X)+D(3) = 42D(X)+0 = 16D(X)=163=48Помимо дисперсии в качестве числовой характеристики степени разброса возможных значений случайной величинывокруг её математического ожидания используется среднее квадратическое отклонение , равное корню квадратному из дисперсии(), размерность которого совпадает с размерностью случайной величины.Для некоторых законов распределения вычисление математического ожидания и дисперсии можно произвести проще, чем по определению. Например, для биномиального распределения математическое ожидание составляет , а дисперсия, .Числовые характеристики равномерного распределения имеют вид:, , Числовые характеристики дискретной случайной величиныМатематическое ожидание дискретной случайной величины вычисляется как сумма произведений значений случайной величины на их вероятности: .Дисперсию можно вычислить как математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания: Однако иногда удобнее пользоваться свойством дисперсии: D(X) M(X2) (M(X))2.Пример. Имеются законы распределения случайных величин X и Y. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z=X+2YX024Y23p0,30,50,2p0,40,6Математическое ожидание: По свойствам математического ожидания дискретной случайно величины:Дисперсия:По свойствам дисперсии дискретной случайно величины:Числовые характеристики для непрерывных случайных величин, их формулы.Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X называется определенный интеграл:Есливсе возможные значения непрерывной случайной величины Х принадлежат отрезку [a,b], то математическим ожиданием непрерывной случайной величины X, возможные значения которой находятся на отрезке [а, b], называется определенный интеграл:В том случае, еслизначения случайной величины Хвозможные значения Х лежат на полупрямой,только один из пределов интегрирования будет бесконечен.Дисперсией непрерывной случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата ее отклонения: или Как и в случае с математическим ожиданием, если значения случайной величины Х заполняют всю осьОх, пределы интегрирования а и b– бесконечны, это справедливои для полупрямой:один из пределов интегрирования будет бесконечен, на отрезке мы переходим от бесконечного интеграла к определенному с пределами интегрирования в концах отрезка.Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется, каки для дискретной случайной величины:Пример. Найти основные числовые характеристики случайной величины X, заданной плотностью распределения на отрезке [0, 1]:, x[0, 1]Последовательно вычисляем искомые величины:Пример. Найти основные числовые характеристики непрерывной случайной величины X, заданной функцией распределения на положительной полуосиОх:, x(0, +)]Найдем сначала плотность распределения:, x(0, +)]Вычисляемсоответствующие интегралы:Использованная литература:1. ГмурманВ.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1998.2. Баврин И. И. Курс высшей математики: Учеб.для студ. высш. пед. учеб. заведений/2 е изд., перераб. и доп. – М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 2004. – 560 с.2. Балдин К.В. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник/К.В. Балдин, В.Н. Башлыков, А.В Рукосуев. – М.: Дашков и К, 2016. – 472 c.3. Большакова Л.В. Теория вероятностей для экономистов: Учебное пособие/Л.В. Большакова. – М.: Финансы и статистика, 2009. – 208 c.4. Кремер, Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: 4-е изд., пер. и доп. Учебник и практикум для академического бакалавриата/Н.Ш. Кремер. –М: Юрайт, 2016. –514 c.