Модели сотрудничества и борьбы за существование

Но при этом необходимо учитывать, что при выборе стратегии сотрудничества каждой из сторон, то величина выигрыша максимизируется у обоих игроков, чемпри выборе обоюдной борьбы. В этом состоит проблема выбора.Приведенный пример является одним из примеровиз ситуаций, описание которых возможно через модель данной игры.Приведенный пример всего лишь в общих чертах дает представление об исследованиях Аксельрода и др. и о той обширной литературе, которая посвящена игре “дилемма заключенного”. Небольшие видоизменения в этой игре позволяют, кроме всего прочего, исследовать такие проблемы, как вопрос об осмысленности применения угроз, о преимуществах, которые можно получить от прерывания сделки или переговоров (стратегия “сжигания мостов”), о важности блефования и отвлекающих маневров, о значимости случайного поведения, а также целый ряд других характерных особенностей ситуаций состязания.2.2. Пример решения задачи модели сотрудничества и борьбы за существованиеВ качестве примера рассмотрим решение игры, модель которой основана на модели выбора стратегий сотрудничества или борьбы. Этапы решения игры включают: Проверку на существование седловой точки. При ее нахождениинайденная стратегия будет являться оптимальной.Стратегии игроков: для стороны 1 – поиск максимума выигрыша, для стороны 2 – поиск минимума выигрыша стороны противника.Проведем расчетзначений выигрыша, величина которого вычисляетсяпонижней цене игры. Через значение нижней цены игрыопределяется максимальная чистая стратегия A1. Значение верхней цены игры.По результатам проведённых расчетов показано, что в данных начальных условиях нет седловой точки, так какЗначение цены игры лежит в промежутке . Задача решается через поиск смешанных стратегий.Проведение проверки платежной матрицы на доминирующие строки и столбцы. С позиции стратегии проигрыша игрока В стратегия B2является доминирующей над стратегией B3 (каждый элемент столбца 2 имеет меньшее значение, чем элементы столбца 3), таким образом, возможно исключениетретьего столбца матрицы. Значение вероятности q3нулевое. 5610275Вданной платежной матрице отсутствуют доминирующие строки. Таким образом, проведено преобразованиеигры 3 x 3 к игреразмерностью 3 x 2.В силу того, что выбор стратегий противникамипроизводится случайным образом, то выигрыш игрока1являетсяслучайной величиной. В указанном случае игрок 1 должна выбирает свои смешанные стратегии таким образом, чтобыобеспечивалсямаксимальный средний выигрыш. Стратегия игрока 2направлена на минимизацию среднего выигрыша противной стороны. Проводим поиск решения игры через смешанные стратегии. Для стороны15p1+10p2+7p3 = y6p1+2p2+5p3 = yp1+p2+p3 = 1 Для стороны 25q1+6q2 = y 10q1+2q2 = y 7q1+5q2 = y q1+q2 = 1Для получение опорного плана необходимо сведение системы неравенств к системе уравнений через добавлениеновых переменных (перевод в каноническую форму). 5y1+6y2+y3 = 1 10y1+2y2+y4 = 17y1+5y2+y5 = 1 Решение системы уравнений проводитсячерез поиск значений базисных переменных: y3, y4, y5Приравняв к нулю значения свободных переменных, можно записать параметры опорного плана:БазисBy1y2y3y4y5y3156100y41102010y5175001Z(Y0)0-1-1000Далее проведены расчеты с использованием основного алгоритма симплекс-метода.На первоначальном этапе проверяется оптимальность первичного опорного плана. В силу наличия отрицательных элементов, план нельзя считать оптимальным.В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной y2, так как это наибольший коэффициент по модулю. Далее проведен расчет параметров Di по строкам через вычисления по формуле и далее проведем выбор минимального элемента: ,Таким образом, ведущая строка - первая.Значение разрешающего элемента равно 6. Элемент расположен на пересечении ведущего столбца и ведущей строки. БазисBy1y2y3y4y5miny31561001/6y411020101/2y51750011/5Z(Y1)0-1-1000Далее проведено формирование следующей части симплексной таблицы. Переменная y3 вплане 1 заменена на переменную y2. Преобразованный формат таблицы:Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai1и из них найдет минимальный элемент: min (1/6 : 5/6 , 2/3 : 81/3 , 1/6 : 25/6 ) = 1/17Следовательно, 3-ая строка является ведущей. Разрешающий элемент равен (25/6) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки. БазисBy1y2y3y4y5miny21/65/611/6001/5y42/325/30-1/3102/25y51/617/60-5/6011/17Z(Y2)1/6-1/601/600Формируем следующую часть симплексной таблицы. Вместо переменной y5 в план 2 войдет переменная y1. Получаем новую симплекс-таблицу: БазисBy1y2y3y4y5y22/17017/170-5/17y43/170036/171-50/17y11/1710-5/1706/17Z(Y2)3/17002/1701/17Критерий окончания итерационного процесса: в индексной строке отсутствуют отрицательные элементы, что предполагает, что текущий план будет являтьсяоптимальным.В предложенном варианте значения все индексной строки неотрицательны. Поэтому данная таблица описывает оптимальный план. Параметры плана, соответствующего построенной модели: Далее проведем расчет параметров оптимального плана двойственной задачи. Расчет вероятностейиспользования игровых стратегий:Расчет цены игры: g = 1 : 3/17 = 17/3p1 = 17/3*2/17 = 2/3p2 = 17/3*0 = 0 p3 = 17/3*1/17 = 1/3Параметры лучшей стратегии стороны 1: Параметры лучше стратегии для стороны 2: Значение цены игры:Далее проведена проверка правильности решения модели с использованиемкритерия оптимальности выбранной стратегии.Проведенные расчеты показали соответствие результатов полученных выражений критерию оптимальности решения.Таким образом, вероятность реализации стратегий принимает значения:ЗаключениеВ рамках данной работы проведен анализ теоретических аспектов и практической реализации решения задач, описываемых математической моделью сотрудничества и борьбы за существование. Практическое применение задач данного типа связано с принятием решений в условиях противостояния. От правильности выбора стратегии зависит дальнейшее существование объекта, объем вероятных потерь, связанных с ситуацией противостояния с объектом противника.Математическая модель указанной задачи относится к разделу теории игр. В рамках данной работы проведен анализ теоретических аспектов использования аппарата теории игр, рассмотрены модель сотрудничества и борьбы за существование.Рассмотрен математический аппарат антагонистических игр, рассмотрены технологии расчета оптимальных стратегий, получения исходов в случае выбора оптимальных и неоптимальных стратегий.Показано, что основные стадии при проведении решения задач теории игр включают:проверку на наличие (либо отсутствие) равновесных состоянийпри использовании чистых стратегий. При достижении равновесного состоянияпроводится определение наборанаилучших стратегийсторон и итоговой стоимости выигрыша.проведение поиска доминирующей стратегии (в случае успешностипроведения поиска – проводится удаление доминирующих строк и столбцов из исходной игровой матрицы).проведение замены модели исходной игры на её смешанное дополнениес проведениемпоиска решений оптимальной смешанной стратегии и расчета стоимости игры. В практической части работы проведено решений задачи указанного класса. Таким образом, цель работы достигнута, задачи выполнены.Список использованных источниковШагин, В. Л.  Теория игр: учебник и практикум / В. Л. Шагин. — 2-е изд., испр. и доп. — Москва : Издательство Юрайт, 2021. — 223 с.Челноков, А. Ю.  Теория игр: учебник и практикум для вузов/ А. Ю. Челноков. — Москва: Издательство Юрайт, 2021. — 223 с. Кремлёв, А. Г.  Теория игр: основные понятия: учебное пособие для вузов / А. Г. Кремлёв; под научной редакцией А. М. Тарасьева. — Москва : Издательство Юрайт, 2021. — 141 с. Лубенец Ю. В. Теория игр : учебное пособие / Ю. В. Лубенец. - Липецк: Липецкий государственный технический университет, 2018. - 79 с.Шиловская, Н. А.  Теория игр : учебник и практикум для вузов / Н. А. Шиловская. — Москва : Издательство Юрайт, 2021. — 318 с.Сигал А. В. Теория игр и ее экономические приложения: учебное пособие / А. В. Сигал. - Симферополь: Корниенко А. А., 2017. - 412 с.Бинмор К. Теория игр: очень краткое введение / Кен Бинмор. - Москва: Дело, 2017. - 254Уткин Л.В., Жук Ю.А. Элементы системного анализа: теория игр: учебное пособие / Л.В. Уткин, Ю.А. Жук. - Санкт-Петербург: Изд-во Политехнического университета, 2016. - 84 с.