Неравенства о средних значениях и их применение

Сложив почленно последние неравенства, получим:Очевидно, такое же соотношение имеет место и для суммы медиан.***В п. 1.5 мы приводили пример иллюстрации неравенств о средних на примере трапеции. В геометрии треугольника особое место занимают такие треугольники, стороны которых связаны средними величинами. Так, треугольник, стороны которого составляют арифметическую прогрессию называется разностным.Одна из сторон разностного треугольника является средним арифметическим двух других. Действительно, пусть стороны разностного треугольника . ТогдаТреугольник, одна из сторон которого является средним гармоническим двух других, называется гармоническим.Треугольник, одна из сторон которого является средним квадратичным двух других, называется автомедианным.Равносторонний треугольник очевидно, является одновременно и разностным, и гармоническим, и автомедианным.Мне не удалось найти в литературе особое название для такого треугольника одна из сторон которого является средним геометрическим двух других. У такого треугольника стороны пропорциональны. Например,из соотношения следует, что . Очевидно, что стороны такого треугольника составляют геометрическую прогрессию. Действительно, пусть стороны треугольника . ТогдаТреугольники, стороны которых связаны со средними величинами, обладают замечательными и очень интересными свойствами. К сожалению, ограниченный объем работы не позволяет углубится в этом вопросе. Ограничимся только их определениями.2.3 Примеры проявления средних величин в школьной физикеРассмотрим в школьных задачниках довольно часто встречающиеся две простые задачи о средней скорости.Задача 10. Автомобиль первую половину дороги проходил с постоянной скоростью , вторую половину – со скоростью . Определить среднюю скорость на всейдороге.Решение Пусть длина дороги . Тогда автомобиль первую половину пути проходит за время ,вторую половину – за . Общее время на пути Так как на каждой половине дороги скорость автомобиля постоянная, то Средняя скорость на всем пути по определениюКак видим, средняя скорость в данном случае равна среднему гармоническому скоростей на каждой половине дороги.Задача 11. Автомобиль первую половину затраченного времени на всей дороге проходил с постоянной скоростью , вторую половину времени – со скоростью . Определить среднюю скорость на всей дороге.РешениеПуть, пройденной за первую половину времени , за вторую половину времени - . Средняя скорость в этом случае будет равнаВ этом случае средняя скорость равна среднему арифметическому скоростей в каждой половине затраченного времени.Сравнивая результаты двух задач делаем вывод, что , поскольку среднее гармоническое меньше, чем среднее арифметическое.Интересно, что при обобщении этих задач получаются такие же результаты. Задача 12. Автомобиль первую ую часть всей дороги прошла со скоростью , вторую ую часть – со скоростью , и т.д., последний участок дороги проходил со скоростью . Определить среднюю скорость на всей дороге.Решение Средняя скорость равна среднему гармоническому Задача 13. Автомобиль первую ую часть затраченного времени на всей дороге проходил с постоянной скоростью , вторую ую часть времени – со скоростью и т.д., последнюю ую часть со скоростью Определить среднюю скорость на всей дороге.Решение Задача 14. Шарик, которую можно считать материальной точкой, свободно падает из точки на массивную плиту, наклоненную под углом к горизонту (рис. 2.1). После упругого столкновения с плитой шарик падает на поверхность земли в точке на расстоянии от вертикальной прямой . На какой высоте необходимо расположить плиту (не меняя ее уклон к горизонту), чтобы расстояние было наибольшим, если ? Чему равно ? Сопротивление воздуха не учитывать.Решение По закону сохранения энергии определим скорость шарика непосредственно в момент удара о плиту:После упругого удара скорость шарика по модулю останется неизменной, но направление изменится на горизонтальное (рис. 2.1). Расстояние по горизонтали, которое пролетит шарик после столкновения, равногде время движения шарика после столкновения. За это же время по вертикали шарик проходит высоту Отсюда Подставив (2.5) и (2.8) в (2.6), получим:Применим неравенство Коши для положительных величин и :В выражение (2.9), следовательно, (2.9) получает свое максимальное значение при , откудаМаксимальное расстояние равноОтвет:, при .ЗАКЛЮЧЕНИЕЗавершая работу, подытожим. Тема работы – «Неравенства о средних и их применение», довольно обширный раздел математики, хотя в школьной программе им отведено не достаточное место. Мы ограничились рассмотрением лишь некоторых общих вопросов, определений и применении неравенств, связанных со средними величинами. Вне поля зрения остался много интересного, например, тема, связанная с треугольниками и задачами о треугольниках, в которых проявляются средние величины. Не коснулись также вопросам приложений средних и неравенств, связанных с ними в других областях науки, мало место отвели их геометрическим интерпретациям, и т.д. Остается надеяться, что эти и другие темы станут предметом творческой работы в будущем. Ведь они таят в своих недрах немало бесценных кладов… Тема была рассмотрена в свете требований новых федеральных образовательных стандартов. Можно сказать, что этот раздел школьной математики таит в себе не мало творческих возможностей в формировании у учащихся УУД, как требуют ФГОС 2-го поколения. Но для этого необходимо, чтобы были разработаны более-менее общие, универсальные подходы, методы и алгоритмы решений и преподавания средних и их свойств. Целю работы было: обобщение, углубление и систематизирование теории о средних и неравенств, связанных с ними. Нужно констатировать, что этой цели в работе достигнуто лишь частично. ИСПОЛЬЗОВАННЫЕ ИСТОЧНИКИОфициальные документыФедеральные Государственные образовательные стандарты (ФГОС) 2 поколение. Концепция федеральных Государственных образовательных стандартов общего образования. М.: 2011.ФГОС, 2 поколение. Примерные программы общего образования. Математика (10-11 классы).Школьные учебники и дидактические материалыАлгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / [А. Г. Мордкович и др.]; - 12-е М.: Мнемозина, 2010.Алгебра и начала анализа: учеб. Для 8-9кл. общеобразовательных учреждений / [Ш. А. Алимов и др.]. - М: Просвещение, 2007. Алгебра и начала анализа: учеб. Для 10-11 кл. средней школы/ А. Н. Колмогоров и др. – М.: Просвещение, 1990.Алгебра и начала анализа, 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений / Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров, М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова, М.И. Шабунин. – М.: Мнемозина, 2004.Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10-11 классов. / Л.И.Звавич и др. М.2002.Учебная, методическая и популярная литератураБелов А. Я., Ковальджи А. К. Как решают нестандартные задачи / Под ред. В. О. Бугаенко.| 4-е изд., стереотип. | М.: МЦНМО. 2008. 96 с.Блинков А. Д. Классические средние в арифметике и геометрии. – 2-е изд., стереотип. – М.: МЦНМО, 2013. – 168 с.: ил.Говоров В. М., Дыбов П. Т., Мирошин Н. В., Смирнова С. Ф. Сборник конкурсных задач по математике. М., 2006.КурантР., РоббинсГ. Что такое математика? — 3-e изд., испр. и доп. — М.: МЦНМО, 2001. — 568 с.Моденов В. П. Математика:Пособие для поступающих в вузы. – М.: ООО»Издательство Новая Волна», 2002. Новоселов С. И. Специальный курс элементарной алгебры. – М.: Высшая школа, 1962. Пособие по математике для поступающих в вузы: Учебное пособие/ Кутасов А. Д. и др. – М.: Наука, 1988.Седракян Н. М., Авоян А. М. Неравенства. Методы доказательств. /перевод с армянского Г. В. Григоряна. – М.: ФИЗМАТЛИТ,2002. – 256 с.Соловьёв Ю. П. Неравенства (Серия: «Библиотека «Математическое просвещение»» ) М.: МЦНМО, 2005. — 16 с.: ил.ФалинГ.И., Фалин А. И. Неравенства для средних. Изд. Дом ”Первое Сентября ”, 2006, №10, стр.25-36.Хорошилова Е.В. Элементарная математика: Учеб. пособие для старшеклассников и абитуриентов. Часть 1ЖТеория чисел. Алгебра. – М.: Изд-во Моск. Ун-та, 2010. – 472 с.Интернет - источникиwww.alexlarin.narod.ru. http://www.mathedu.ru/math/articles/algebra/algebra.htmlhttps://docs.yandex.ru/docs/