Поверхностные интегралы второго рода

Перед тем, как воспользоваться формулой Стокса, наложим на трехмерную область T, которой относятся наши рассуждения, естественное ограничение: потребуем, чтобы, каков бы ни был простой замкнутый кусочно-гладкий контурLв областиТ, на него можно было «натянуть» кусочно-гладкую (без самопересечений) поверхностьS, имеющуюLсвоим контуром и также целиком содержащуюся в T. Это свойство соответствуетсвойству односвязности плоской области; при наличии его пространственную область T также называют («поверхностно») односвязной. Так, пусть областьТявляется (поверхностно) односвязной. Натянув на контурLповерхностьS, заменим поформулеСтоксакриволинейныйинтеграл(21)поверхностныминтегралом.Для обращения его в нуль, очевидно, достаточны условия, , .(22)Если рассматривать плоские фигурыS, лежащие в плоскостях, параллельных поочередно той или иной из координатных плоскостей, то очевидно, что эти условия необходимы.Докажем, что эти же условия (22) будут необходимы и достаточны для того, чтобыинтеграл(23)не зависел от формы кривойAB, соединяющей любые две точкиА и В области Т, в предположении, конечно, что эта область поверхностно односвязна.Необходимость. Если предположить интеграл (23) независящим от пути, то отсюда следует обращение в нуль интеграла (21) по простому замкнутому контуруL, а значит и выполнение условия (22).Достаточность. Из (22) вытекает обращение в нуль интеграла (21) по простому замкнутому контуру L. Отсюда вытекает равенство,(24)если только кривые ACB и ADB не имеют общих точек, кроме А и В. Если же взятые кривые пересекаются (имеют общие точки), то в связной пространственной области T всегда можно взять такую третью кривую AEB, которая небудет пересекаться ни с одной из прежних. Тогда, ,откуда и следует (24).Из этого исследования вытекает и вопрос о том, будет ли дифференциальное выражение(25)полнымдифференциаломот некоторой однозначной функции трех переменных. Необходимость условий (22)проверяется непосредственно, досточность в случае (поверхностно) односвязной области проверить также нетрудно.Первообразнуюможновыразить сразу в видекриволинейногоинтеграла,который(при соблюдении условий (22)) независит от пути. Таким образом, для (поверхностно) односвязной областиТ, условия (22) оказываются необходимыми и достаточными для того, чтобы выражение (25) было полным дифференциалом.2 Вычисление поверхностных интегралов II родаВычисление поверхностного интеграла второго рода сводится, как правило, к вычислению соответствующих двойных интегралов. Пример 1. Вычислитьповерхностный интеграл второго рода, гдеS – верхняя сторона поверхности , отсеченной плоскостямиy = 0, y = b(рис. 5а). Поскольку рассматривается верхняя сторона поверхности (нормальв точке М составляет с осью Oz острый угол ),тоберем интеграл со знаком плюс. абРис. 5.ПроекцияDданнойповерхности на плоскостьОху– прямоугольникABCD(рис. 5б), определяемый неравенствами | x |  aи 0  y  b.Вычисляем интеграл:Пример 2. Вычислитьинтеграл, распространенный на нижнюю сторону круга.Так как поверхность, по которой берется интеграл, совпадает со своей проекциейDна плоскостьOxy (рис. 6), то, учитывая сторону, имеемРис. 6Переходим к полярным координатам: x = cos,y= sinПример 3.Вычислитьповерхностный интеграл II рода,гдеS –внутренняя сторона поверхностиx2 = 2py (p>0), отсеченной плоскостями y=2p, z=0,z=q (рис. 7а).абРис. 7.Проекция DповерхностиS на плоскостьОхz– прямоугольникABCD(рис.7б), определяемый неравенствами | x |  2pи 0  z  2p.Поскольку интеграл берется по внутренней стороне поверхности, то вычисляем его со знаком минус:Пример 4.Вычислить интеграл , где S – верхняя сторона части плоскости x + z – 1 = 0, отсеченной плоскостями y = 0, y = 4 и лежащей в правом октанте (рис. 8).Рис. 8Так как плоскость S параллельна оси Oy, то .Поэтому Пример 5.Вычислить поверхностный интегралпо внутренней сторонепараболического цилиндраz = 1 – y2 (z  0, 0  x 3).абРис. 9Поскольку поверхность параллельна осиOx (рис. 9а), то.Интегралразделим на две части. Векторы нормали к левой части поверхностиобразуют с полуосьюOy+острые углы, а к правой части поверхности– тупые углы, поэтому:ОбластьDxzна рис. 9б, и в соответствии с областью Dxzобозначим пределы интеграла:Пример 6. Вычислитьинтеграл ,гдеS– верхняя сторона поверхности, вырезанной цилиндромx2 + y2 = 2axиз сферыx2 + y2 + z2  = 2Rx (R>a, z>0).Воспользуемся формулой (14), связывающей поверхностные интегралы обоихтипов. По этой формулеДалее, поскольку,, ,тоТак как поверхность симметрична относительно плоскости Oxz, тои .Переходимобратно кповерхностному интегралу II рода и получаем:Пример 7. Вычислить интеграл , гдеS – внешняя сторона пирамиды, ограниченной плоскостями2х – 3у + z = 6, х = 0, у = 0, z = 0 (рис.10).Рис. 10Воспользуемся формулой Остроградского-Гаусса:Находим:Пример 8. Вычислить интеграл , где L–окружностьx2  y2  R2, z 0. Для вычисления интеграла воспользуемся формулой Стокса, взяв в качестве поверхности полусферу (рис. 11).Рис. 11Перейдем к полярным координатам: x=cos, y=sin:2.1 Выражение объема тела поверхностным интеграломРассмотрим тело W, ограниченное кусочно-гладкими поверхностями S1z = z0(x,y),S2z = Z(x,y)(z0