Методы и приёмы решения иррациональных уравнений с параметром, иррациональных неравенств с параметром и их систем

Ответ: При не имеет решения; при Пример 6Решите неравенство.Решение: Используем метод функционального анализа.1) При левая часть неравенства не определена.2) Рассмотрим неравенство при .Если, ОДЗ неравенства:, а если 0,то ОДЗ неравенства:.Введём новую переменную (), тогда. Исходное неравенство перепишем в виде:Но это неравенство выполняется для всехТ.е. решениенеравенство совпадает с ОДЗ.Ответ: при нет решения, при , при. [4]Пример 7Найдите значения параметра , при котором неравенство имеет хотя бы одно решение:Решение:Воспользуемся аналитическим методом.Приведем неравенство к положительному коэффициенты при :Найдем дискриминант:Для того чтобы неравенство имело решение, нужно, чтобы одна точка параболы лежала на оси . Так как ветви параболы направлены вверх, то для этого нужно, чтобы квадратный трёхчлен в левой части неравенства имел два корня, то есть его дискриминант был положительным. Мы приходим к необходимости решить квадратное неравенство:Уравнение вида имеет 2 корня:Ввиду этого удовлетворяет такому промежутку как:Ответ:Пример 8Найти при каких значениях параметра неравенство не имеет решений:Решение:Воспользуемся методом функционального анализа.Если , то данное неравенство вырождается в неравенство  , которое не имеет решений. Поэтому значение  удовлетворяет условию задачи.Если , то график квадратного трехчлена в левой части неравенства — парабола с ветвями, направленными вверх. Вычислим . Неравенство не имеет решений, если парабола расположена выше оси абсцисс, то есть когда квадратный трёхчлен не имеет корней (). Решим неравенство . Корнями квадратного трёхчлена  являются числа  и , поэтому  при . Значит, из положительных значений  подходят числа .Если , то график квадратного трехчлена в левой части неравенства — парабола с ветвями, направленными вниз. Значит, обязательно найдутся значения х, для которых трёхчлен отрицателен. Следовательно, все значения  не подходят.Ответ:[5]Пример 9Решить неравенство с параметром:Решение:Воспользуемся аналитическим методом.Решить данный пример можно аналитическим методом:Рассмотрим 3 варианта:1) , , то 2) , , то 3) , то , следовательно любое действительное число.Ответ:1) , то 2) , то 3) , любое действительное число.Пример 10Решить неравенство с параметром:Решение:Решим аналитическим методом.В зависимости от знака параметра будут рассмотрены три случая:1) , то ;2) , то 3) – неравенство будет иметь вид , поэтому любое действительное число будет решением исходного неравенства.Ответ:1) , ;2) , 3) , x – любое действительно числоПример 11Для любого значения параметра решите неравенствоРешение:Воспользуемся аналитическим методом. Во-первых, заметим, что левая часть неравенства представляет собой квадратный трёхчлен относительно  с корнямитак что левая часть раскладывается на множителиВо-вторых, при  имеем особый случай: , решением которого является .В- третьих, заметим, что значение разности во второй скобке положительно при . Так что при  неравенство можно переписать в виде:При  в значение суммы в первой скобке положительно, то есть можно переписать в виде неравенстваНаконец, заметим, что  входит в последний случай.Осталось скомпоноватьОтвет: если , то Если  то.Пример 12При каких значениях параметра неравенство верно при любом значении :Решение:Воспользуемся аналитическим методом.Выражение слева – это есть ничто иное как уравнение параболы ветками вверх. Такая парабола будет всегда положительной, если дискриминант меньше 0. Найдем этот дискриминант:Получаем:Ответ:2.3Примеры решений иррациональных систем с параметрамиПример 1Найдите все значения параметра  при которых система имеет решение.Решение:Воспользуемся аналитическим методом.Исходная система равносильна следующей системеВыясним при каких значениях параметра  уравнениеимеет корни, т.е. Теперь выясним при каких значениях параметра а, эти корни отрицательные:Из условия, когда уравнение имеет корни исключим те, когда эти корни отрицательные, получим значение параметра, при котором квадратное уравнение имеет неотрицательные корни, а следовательно, исходная система имеет решение  Ответ: Пример 2Найдите все значения параметра  при которых система имеет одно решение.Решение:Воспользуемся аналитическим методом и графическим.из первого уравнения следует, что .  Исходная система равносильна следующей системе и после возведения в квадрат Выясним при каких значениях параметра  уравнениеимеет один неотрицательный корень. Это возможно в следующих случаях:1) Уравнение имеет один корень, и он неотрицательный:  При т.е. нет решений. При  т.е. одно решение.2) Уравнение имеет два корня разных знаков, т.е.где 3) Уравнение имеет два корня, один из которых отрицательный, а второй равен 0, т.е. При уравнение принимает вид и имеет корнии  , т.е. одно решение.При уравнение принимает вид   и имеет корни и  , т.е. два решения.Объединяя решения всех трех случаев, получим, когда исходная система имеет одно решениеОтвет: Пример 3Найдите все значения параметра при которых система имеет единственное решение.Решение:  Используем аналитический метод и метод функционального анализа.В первом уравнении при , а значит уравнение и система не имеют решения.При  первое уравнение принимает вид.И исходная система равносильна следующей системеВыясним при каких значениях параметра  уравнениеимеет один неотрицательный корень. Это возможно в следующих случаях:1) Уравнение имеет один корень, и он неотрицательный:  При  одно решение.2) Уравнение имеет два корня разных знаков, т.е. 3) Уравнение имеет два корня, один из которых отрицательный, а второй равен 0, т.е.При уравнение принимает вид и имеет корнии, т.е. два решения.При уравнение принимает вид и имеет корни и, т.е. одно решение.Объединяя решения всех трех случаев, получим, когда исходная система имеет одно решение Ответ:  Пример 4Найти все значения параметра, при которых система уравнений имеет единственное решение:Решение:Воспользуемся аналитическим методом.Последняя система может иметь единственное решение в двух случаях.1. Дискриминант квадратного уравнения равен 0Получаем, чтоПроверим найденные значения:. Уравнение принимает вид:. Уравнение принимает вид:.Исходя из этого видим, что не удовлетворяет условиям задачи.2. Уравнение иметт два корня, один из которых отрицательный, а другой неотрицательный. Значения параметра, при которых корни уравнения имеют противоположные знаки, находим из условияОткуда Проверим:. Уравнение принимает вид: имеет только один не отрицательный корень.. Уравнение принимает вид: имеет два не отрицательных корня:Поэтому не удовлетворяет условиям задачи.Ответ:Пример 5Найти все значения параметрапри которых система уравнений имеет решение.Решение:Используем аналитический метод.Так как То множество решений уравнения – две взаимно перпендикулярные прямые Подставим и в уравнениеПолучим два уравнения:иВыясним, при каких значениях параметра эти уравнения имеют решения.Пусть , тогда получим:Пусть Значения параметра, при котором уравнение имеет один неотрицательный корень, находим из совокупности условий:откуда Аналогично найдем значения параметра, при которых уравнение имеет менее одного неотрицательного корня. Пусть Из условий:откуда Ответ:система уравнений имеет решение, если хотя бы одно из уравнений имеет решение, т.е. при Пример 6Найти все значения параметра при которых система имеет решения.Решение:Воспользуемся методом замены и аналитическим методом.Выразим переменную из второго уравнения и подставим в первое, получим:Сделаем замену:Значение параметра, при которых уравнение имеет, по крайне мере, один неотрицательный корень, находим из совокупности условий:Откуда Ответ:ЗаключениеПеред начало выполнения данной курсовой работы были поставлены определённые цели и задачи, направленные на достижения поставленных целей.В ходе выполнения данной работы были достигнуты все цели и решены все задачи.Первая глава была посвящена теоретической части вопроса о методах и способах решения иррациональных уравнений и неравенств с параметрами. В ней были перечислены основные методы, которые применяются для решения данных задач. Каждый метод был раскрыт. По итогу первой главы был сделан вывод о том, что не существует определённо универсального метода, с помощью которого можно решить любое иррациональное уравнение и неравенство с параметрами, а наоборот зачастую существуют такие задачи в которых требуется применение нескольких методов сразу.Вторая глава работы была направлена на практическую часть, в ней было разобрано около 30 примеров иррациональных уравнений, неравенств и систем с параметром. Уравнения, неравенства и системы решались с применением методов, которые были описаны в первой главе.Как можно заметить решать задания приходилось разными методами, что доказывает, что универсального метода для решения подобных задач не существует. Так же было наглядно продемонстрировано то, что для решение данных задач требует применения навыков по анализу, пониманию закономерностей и объединения известных частных случаевСписок литературы1. Примеры решения иррациональных уравнений с параметром [Электронный ресурс] URL: https://megaobuchalka.ru/12/27457.html. (Дата обращения: 03.05.2022)2. Решение иррациональных уравнений и неравенств с параметрами [Электронный ресурс] URL: https://urok.1sept.ru/articles/579138. (Дата обращения 03.05.2022)3. Задачи с параметрами по теме: Иррациональные уравнения и неравенства [Электронный ресурс] URL: https://infourok.ru/zadachi-s-parametrami-po-teme-irracionalnie-uravneniya-i-neravenstva-268665.html (Дата обращения 03.05.2022)4. Как решать неравенства с параметром [Электронный ресурс] URL: https://www.sites.google.com/site/kakresatneravenstvasparametrom/klassifikacia-neravenstv-i-metody-ih-resen/irracionalnye-neravenstva. (Дата обращения: 03.05.2022)5. Задачи с параметром [Электронный ресурс] URL: https://foxford.ru/wiki/matematika/zadachi-s-parametrom. (Дата обращения: 03.05.2022)6. Решение иррациональных уравнений с параметром [Электронный ресурс]URL:https://web.snauka.ru/issues/2015/10/58207. (Дата обращения 04.05.2022)7. Трансцендентные уравнения с параметрами и методы их решений [Электронный ресурс]URL:http://infed.ru/articles/94/ (Дата обращения: 04.05.2022)8. Методы и приемы решений иррациональных уравнений с параметром [Электронный ресурс]URL:https://ppt-online.org/363871 (Дата обращения 05.05.2022)9. Иррациональные уравнения. Функциональный метод решения. [Электронный ресурс]URL: http://www.myshared.ru/slide/278226/. (Дата обращения: 04.05.2022)10. Иррациональные уравнения [Электронный ресурсу]URL:https://youclever.org/book/irratsionalnye-uravneniya-2/#Summary. (Дата обращения 10.05.2022)11. Графический метод в задачах с параметром [Электронный ресурс]URL:https://sigma-center.ru/graphical_method (Дата обращения 10.05.2022)12. Занятие при подготовке к ЕГЭ. Тема «Область определения функции и применение ее к решению уравнений» [Электронный ресурс] URL:https://yrok.1sept.ru/articles/630466. (Дата обращения 11.05.2022)13. Прокофьев А.А. Задачи с параметрами. – М.: МИЭТ, 2004. – 258 стр.