Модели организации и планирования производства

Разрешающий элемент равен (9) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.БазисBx1x2x3x4x5minx3762110076x48018901080/9x57749900186F(X1)0-20-40000Формируем следующую часть симплексной таблицы. Вместо переменной x4 в план 1 войдет переменная x2.Получаем новую симплекс-таблицу:БазисBx1x2x3x4x5x3604/9001-1/90x280/92101/90x5694-900-11F(X1)3200/9600040/90Конец итераций: индексная строка не содержит отрицательных элементов, поэтому найден оптимальный планСреди значений индексной строки нет отрицательных. Поэтому эта таблица определяет оптимальный план задачи.Окончательный вариант симплекс-таблицы:БазисBx1x2x3x4x5x3604/9001-1/90x280/92101/90x5694-900-11F(X2)3200/9600040/90Оптимальный план можно записать так:x1 = 0, x2 = 88/9F(X) = 20*0 + 40*88/9 = 3555/9В оптимальный план вошла дополнительная переменная x3.Следовательно, при реализации такого плана имеются недоиспользованные ресурсы 1-го вида в количестве 671/9.В оптимальный план вошла дополнительная переменная x5.Следовательно, при реализации такого плана имеются недоиспользованные ресурсы 3-го вида в количестве 694.Значение 60> 0 в столбце x1 означает, что использование x1 - не выгодно.Значение 0 в столбце x2 означает, что использование x2 - выгодно.Значение 0 в столбце x3 означает, что теневая цена (двойственная оценка) равна y1=0.Значение 44/9 в столбце x4 означает, что теневая цена (двойственная оценка) равна y2=44/9.Значение 0 в столбце x5 означает, что теневая цена (двойственная оценка) равна y3=0.Построим двойственную задачу по следующим правилам:1. Количество переменных в двойственной задаче равно количеству неравенств в исходной.2. Матрица коэффициентов двойственной задачи является транспонированной к матрице коэффициентов исходной.3. Система ограничений двойственной задачи записывается в виде неравенств противоположного смысла неравенствам системы ограничений прямой задачи.Столбец свободных членов исходной задачи является строкой коэффициентов для целевой функции двойственной. Целевая функция в одной задаче максимизируется, в другой минимизируется.Расширенная матрица A.217618980997742040Транспонированная матрица AT.218920199407680774Условиям неотрицательности переменных исходной задачи соответствуют неравенства-ограничения двойственной, направленные в другую сторону. И наоборот, неравенствам-ограничениям в исходной соответствуют условия неотрицательности в двойственной.2y1+18y2+9y3≥20y1+9y2+9y3≥4076y1+80y2+774y3 →miny1 ≥0y2 ≥0y3 ≥ 0Исходная задача IДвойственная задача IIx1 ≥ 0↔2y1+18y2+9y3≥20x2 ≥ 0↔y1+9y2+9y3≥4020x1+40x2 → max↔76y1+80y2+774y3 → min2x1+x2≤76↔y1 ≥ 018x1+9x2≤80↔y2 ≥ 09x1+9x2≤774↔y3 ≥ 0Решение двойственной задачи дает оптимальную систему оценок ресурсов.Используя последнюю итерацию прямой задачи найдем, оптимальный план двойственной задачи.y1=0,y2=44/9,y3=0Это же решение можно получить, применив теоремы двойственности (метод взаимно однозначного соответствия между основными переменными прямой задачи и балансовыми переменными двойственной и необходимым соотношением).Из теоремы двойственности следует, что Y = C∙A-1.Составим матрицу A из компонентов векторов, входящих в оптимальный базис.A = (A3, A2, A5) =110090091Определив обратную матрицу D = А-1 через алгебраические дополнения, получим:D = A-1 =1-1/9001/900-11Как видно из последнего плана симплексной таблицы, обратная матрица A-1 расположена в столбцах дополнительных переменных.Тогда Y = C*A-1 =(0, 40, 0) x1-1/9001/900-11= (0;40/9;0)Оптимальный план двойственной задачи равен:y1 =0,y2 =44/9, y3 =0Z(Y) = 76∙0+80∙44/9+774∙0 = 3555/9Экономический смысл всех переменных, участвующих в решении.План производстваОстатки ресурсов, единицx1=0x2=88/9x3=0x4=0x5=0↨↨↨↨↨y4=60y5=0y1=0y2=44/9y3=0Превышение затрат на ресурсы над ценой реализации (возможный убыток от производства продукции)Объективно обусловленные оценки ресурсов (теневые, условные, скрытые цены ресурсов)Определение дефицитных и недефицитных (избыточных) ресурсов (условия дополняющей нежесткости). Подставим оптимальный план прямой задачи в систему ограниченной математической модели:2∙0 + 1∙88/9 = 88/9 < 7618∙0 + 9∙88/9 = 80 = 809∙0 + 9∙88/9 = 80 < 7741-ое ограничение выполняется как строгое неравенство, т.е. ресурс 1-го вида израсходован не полностью. Значит, этот ресурс не является дефицитным и его оценка в оптимальном плане y1 = 0.Неиспользованный экономический резерв ресурса 1 составляет 671/9 (76-88/9).Этот резерв не может быть использован в оптимальном плане, но указывает на возможность изменений в объекте моделирования (например, резерв ресурса можно продать или сдать в аренду).2-ое ограничение прямой задачи выполняется как равенство. Это означает, что 2-й ресурс полностью используется в оптимальном плане, является дефицитным и его оценка согласно второй теореме двойственности отлична от нуля (y2 ≠ 0).3-ое ограничение выполняется как строгое неравенство, т.е. ресурс 3-го вида израсходован не полностью. Значит, этот ресурс не является дефицитным и его оценка в оптимальном плане y3 = 0.Неиспользованный экономический резерв ресурса 3 составляет 694 (774-80).Этот резерв не может быть использован в оптимальном плане, но указывает на возможность изменений в объекте моделирования (например, резерв ресурса можно продать или сдать в аренду).Двойственные оценки отражают сравнительную дефицитность различных видов ресурсов в отношении принятого в задаче показателя эффективности. Оценки показывают, какие ресурсы являются более дефицитными, (они будут иметь самые высокие оценки), какие менее дефицитными и какие совсем недефицитны (избыточны) - они будут равны нулю.При подстановке оптимальных двойственных оценок в систему ограничений двойственной задачи получим:2∙0 + 18∙44/9 + 9∙0 = 80 > 201∙0 + 9∙44/9 + 9∙0 = 40 = 401-ое ограничение выполняется как строгое неравенство, т.е. продукцию 1-го вида производить экономически не выгодно. И действительно в оптимальном плане прямой задачи x1 = 0.При этом разница между ценами (80 – 20 = 60) показывает величину изменения целевой функции F(x) при введении дополнительной единицы xi.2-ое ограничение двойственной задачи выполняется как равенство. Это означает, что 2-й продукт экономически выгодно производить (убытки от производства этого вида продукции отсутствуют), а его использование предусмотрено оптимальным планом прямой задачи (x2>0).ЗаключениеВ курсовой работе были рассмотрены теоретические аспекты решения задач линейного программирования, а также выполнены решены три экономических задания, связанных с оптимизацией производственного процесса, а именно оптимизация плана производства и издержек с целью получения наибольшего дохода. Для этого применялись разнообразные методы решения задач линейного и нелинейного программирования.Метод математического программирования является основным инструментом описания оптимальных решений. Оптимальным решением считается такой способ действия, который в наибольшей степени способствует достижению поставленной в задаче цели. В результате выполнения курсовой работы были выполнены следующие этапы:- составлены математические модели планирования производства;- решены задания линейного программирования с помощью надстройки Excel «Поиск решения»;- найдены наибольшее и наименьшее значения целевых функций заданий, в том числе с использованием теоремыВейрштрасса, а также необходимые и достаточные условия экстремума функции;- найдены графическим методом оптимальные планы выпуска продукции;- записаны задания линейного программирования в каноническом виде, в матричной и векторной формах;- решена задача минимизации издержек и определены значения ресурсов, обеспечивающие минимальные издержки двумя способами: методом подстановки и методом множителей Лагранжа;- решено задание симплекс-методом и двойственная задача требуемыми заданиемметодами.Список литературы1. Захарченков К.В., Мрочек Т.В. Методы оптимизации: учебно-методическое издание. – Могилев, 2018. – 44 с.2. Ишханян М.В., Фроловичев А.И. Методы оптимальных решений: учебное пособие. – М.: МИИТ, 2015. – 132 с.3. Конспект лекций по дисциплине «Методы оптимальных решений» 2022 учебный год.4. Леонова Н.Л. Задачи линейного программирования и методы их решения: учебно-методическое пособие. -Санкт-Петербург, 2017. –76 с.5. Локтионова О.Г. Математическое и имитационное моделирование экономических процессов: методические указания. – Курск, 2019. –52 с.