Тема – Обработка экспериментальных данных проверки уровня технического состояния устройств железнодорожной автоматики и телемеханики и методы численного решения инженерных задач.

Центральные эмпирические моменты третьего и четвертогопорядков статистического распределения приравниваются соответственно к центральным моментам третьего и четвертого порядков случайной величины: и .Установка законов распределений и проверка гипотезУстановление закона распределения выборочной совокупности проводится через проверку статистических гипотез.Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения. Статистические гипотезы бывают двух видов: нулевая (выдвигаемая) гипотеза Н0и конкурирующая (противоречащая нулевой) Н1.Проведение проверки статистическими методами приводит к появлению ошибок двух родов: 1) ошибка первого рода – отвержение правильной гипотезы; 2) ошибка второго рода – принятие неправильной гипотезы.Вероятность совершить ошибку первого рода называют уровнем значимости и обозначают через α. Наиболее часто уровень значимости принимают 0,05, что означает наличие риска отвергнуть правильную гипотезу в пяти случаях из ста.Для проверки нулевой гипотезы используется специально подобранная случайная величина, которая называется статистическим критерием.Наблюдаемым значением критерия называют его значение, вычисленное по выборке.После выбора определенного критерия множество всех его возможных значений разбивают на два непересекающихся подмножества: одно из них содержит значения критерия, при которых нулевая гипотеза отвергается, а другое – при которых она принимается.Критической областью называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают.Областью принятия гипотезыназывают совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу принимают.Критической точкой называют точку, отделяющую критическую область от области принятия гипотезы. Для каждого критерия имеются соответствующие таблицы, по которым и находят критическую точку.Основной принцип проверки статистических гипотез формулируется следующим образом: если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области – гипотезу отвергают, если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы – гипотезу принимают. Для проверки гипотезы о закономерности распределения выборочной совокупности применяется критерий Пирсона (хи-квадрат), критические точки которого находят по таблице.Нулевую гипотезу следует принимать, если наблюдаемое значение критерия Пирсона меньше значения критической точки. Нулевую гипотезу следует отвергнуть, если наблюдаемое значение критерия Пирсона больше значения критической точки .Для вычисления наблюдаемого значения критерия Пирсона необходимо сравнить эмпирические и теоретические частоты каждого интервала статистического распределения выборки по формуле:Эмпирическая частота равна количеству наблюдений в выборке, попавших в данный интервал. Теоретическая частота вычисляется по формуле:Выбор теоретического распределения определяется примерным совпадением вида гистограммы относительных частот статистического распределения с графиком плотности соответствующего распределения случайной величины Х (рисунки 1-3). Результатом проведенного сравнительного анализа выступает выдвижение гипотезы о виде распределения выборочной совокупности и ее последующая проверка.Рисунок 1.Выборочная совокупность 1 имеет показательное распределениеРисунок 2. Выборочная совокупность 2 имеет нормальное распределениеРисунок 3. Выборочная совокупность 3 имеет равномерное распределениеДля подтверждения выдвигаемой гипотезы сравниваются:1) коэффициент асимметрии статистического распределения с коэффициентами асимметрии равномерного и нормального распределений;2) эксцесс статистического распределения с эксцессами равномерного () или нормального распределений ();3) коэффициент вариации статистического распределения с коэффициентами вариации показательного () распределения.Характеристики выборочных совокупностей приведены в таблице 2.Таблица 2. Характеристики выборочных совокупностейВыборкаХарактеристики13,190,2580,3727,320,4080,87315,400,0181,92Центральные эмпирические моменты выборок приведены в таблице 3.Таблица 3. Центральные эмпирические моменты выборокПараметрыВыборка12356,3313,7107,97656,211,2389,6514625,13487,721072Параметры статистических распределений выборокприведены в таблице 4.Таблица 4. Параметры статистических распределений выборокПараметрыВыборка1237,51510,7519,457,53,710,391,550,220,071,61-0,4-1,19Продолжение таблицы 4.1,050,340,52 выборочная совокупность 1 имеет показательное распределение с параметром . выборочная совокупность 2 имеет нормальное распределение с параметрами ; выборочная совокупность 3 имеет равномерное распределение с параметрами ;Результаты сравнения коэффициентов асимметрии, эксцессов и коэффициентов вариации выборочных совокупностей не противоречат выдвинутым гипотезам: коэффициент вариации выборочной совокупности 1 сравним с соответствующим параметром показательного распределения (). коэффициент асимметрии, эксцесс , выборочной совокупности 2 сравнимы с соответствующими параметрами нормального распределения (); коэффициент асимметрии и коэффициент вариации выборочной совокупности 2 сравнимы с соответствующими параметрами равномерного распределения ();Проверка гипотезы о показательном распределении выборки 1приведена в таблице 5.Таблица 5. Проверка гипотезы о показательном распределении выборки 1Нулевая гипотеза Н0:Выборочная совокупность 1 имеет показательное распределение с параметром =0,14.Число степеней свободы: r=5Уровень значимости α=0,05Продолжение таблицы 5.Критическая точка Наблюдаемое значение критерия Пирсона Условие принятия Н0:Результат проверки гипотезы: выборочная совокупность 1 имеет показательное распределение с параметром =0,14.Проверка гипотезы о нормальном распределении выборки 2 приведена в таблице 6.Таблица 6. Проверка гипотезы о нормальном распределении выборки 2Нулевая гипотеза Н0: выборочная совокупность 2 имеет нормальное распределение с параметрами a=-12,9 и =3,7Число степеней свободы: r=5.Уровень значимости α=0,05Критическая точка Наблюдаемое значение критерия Пирсона Критическая область: Область принятия гипотезы : Условие принятия Н0: Условие непринятия Н0: Результат проверки гипотезы: выборочная совокупность 2 имеет нормальное распределение с параметрами a=-12,9 и =3,7.Проверка гипотезы о равномерном распределении выборки 3 приведена в таблице 7.Таблица 7. Проверка гипотезы о равномерном распределении выборки 3.Нулевая гипотеза Н0:выборочная совокупность 3 имеет равномерное распределение с параметрами a=-167,29 и b=154,2.Число степеней свободы: r=5.Уровень значимости α=0,05.Критическая точка Наблюдаемое значение критерия Пирсона Критическая область : Область принятия гипотезы : Условие принятия Н0:Условие непринятия Н0: Результат проверки гипотезы: выборочная совокупность 3 имеет равномерное распределение с параметрами a=-167,29 и b=154,2.ЗаключениеС помощью программы Excel был проведен статистический анализ 3-х выборочных совокупностей и было установлено, что: выборочная совокупность 1 имеет показательное распределение с параметром =0,14. выборочная совокупность 2 имеет нормальное распределение с параметрами a=-12,9 и =3,7; выборочная совокупность 3 имеет равномерное распределение с параметрами a=-167,29 и b=154,2;Список литературыВентцель Е.С., Овчаров Л.А. Задачи и упражнения по теории вероятностей: учеб. пособие для вузов. 4-е изд., перераб. и доп. М.: Высш. шк., 2002. 448 с.Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие для вузов. 9-е изд., стер. М.: Высш. шк., 2003. 479 с.Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: учеб. пособие для студентов вузов. Изд. 4-е, стер. – М.: Высш. шк., 1997. 400 с.Горелова Г.В., Кацко И.А. Теория вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с применением Excel. Учебное пособие для вузов. Издание 2-е исправленное и дополненное. Ростов на Дону: Феникс, 2002. 400 с.Елисеева Н.Н. и др. Теория статистики с основами теории вероятностей. М.: ЮНИТИ, 2001. 446 с.Куликова О.В., Тимофеева Г.А., Чуев Н.П. Исследование выборочных совокупностей с применением программы Excel – Екатеринбург.: УрГУПС, 2003. 76 с.Макарова Н.В., Трофимец В.Я. Статистика в Excel: Учеб. пособие. – М.: Финансы и статистика, 2002. 368 с.Гнеденко Б.В. Очерки по истории математики в России. – М.; Л.: Гос. изд-во техн.-теорет. лит., 1946. – 245 с.