Лузин Н.Н. и его научная школа

Доклад «Общая теория динамических систем и классическая механика», прочитанный им на Международном математическом конгрессе в 1954 году в Амстердаме, стал событием мирового уровня.В «Теории динамических систем» Колмогоров опубликовал теорему об инвариантных торах, обобщенную позже Арнольдом и Мозером, что привело к созданию теории Колмогорова–Арнольда–Мозера (CAM theory) (одна из первых теорий хаоса).В последние годы Колмогоров был заведующим кафедрой математической логики в Московском государственном университете и преподавал в школе № 18 МГУ (ныне СУНЦ МГУ им. М.В. Колмогорова).2.4. П.С. НовиковПетр Сергеевич Новиков (1901-1975) был известным математиком, прославившимся своей способностью решать чрезвычайно сложные задачи. Его известные работы (в хронологическом порядке) относятся к дескриптивной теории множеств, обратной задаче ньютоновской гравитации, математической логике, теории алгоритмов и комбинаторной теории групп.П.С. Новиков родился 28 августа 1901 года в Москве в купеческой семье. Фамилия его прадеда была Поддяков. После того как прадед обанкротился, его пятеро сыновей снова заработали состояние, строя церкви. После этого их стали называть «Новиками». Отец Петра Сергеевича уже носил фамилию Новиков. Мать происходила из семьи старообрядцев. В 1919 году, окончив гимназию, П.С. Новиков поступил на физико-математический факультет Московского университета. Однако в марте 1920 года он был призван в Красную Армию, где прослужил более двух лет, сначала в Костроме, а затем в Таганроге. Летом 1922 года П.С. Новиков уволился из армии, чтобы продолжить учебу в университете. Он вернулся в университет, окончил физико-математический факультет в 1926 году и в том же году поступил в аспирантуру. С 1926 по 1929 год П. С. Новиков учился в аспирантуре под руководством Н.Н. Лузина. Уже в это время проявился его исключительный математический талант. Он был одним из наиболее активных представителей научной школы Н.Н. Лузина. П.С. Новиков дольше всех других учеников Н.Н. Лузина следовал его идеям в своей научной работе и получил наиболее глубокие результаты в направлениях, намеченных им в дескриптивной теории множеств. Впоследствии П.С. Новиков никогда не принимал участия в травле Н.Н. Лузина, развязанной определенными кругами. Петр Сергеевич до конца своих дней сохранял уважительное, сердечное и искренне благодарное отношение к своему учителю Николаю Николаевичу Лузину. После окончания аспирантуры П.С. Новиков в течение нескольких лет преподавал математику в Московском химико-технологическом институте им. Д. И. Менделеева. В 1935 году он защитил свою первую в СССР докторскую диссертацию по математике. Подробный обзор научных работ П. С. Новикова опубликован в сборнике его избранных работ. В своей работе С. И. Адьян подробно описал фундаментальные результаты П. С. Новикова. Во время учебы в Московском университете Новиков заинтересовался наиболее актуальными в то время проблемами дескриптивной теории множеств и теории функций. В своей первой опубликованной работе он исследовал описательную природу неявно заданных функций Бореля. В рамках этих работ он создал сильный метод, называемый принципом сравнения индексов, с помощью которого впоследствии были решены многие сложные задачи дескриптивной теории множеств. Уже после появления знаменитой работы К. Гедель о непротиворечивости гипотезы континуума, П.С. Новиков доказал ряд теорем, озвученных К. Гедель, который так и не опубликовал свое доказательство.Среди работ П. С. Новикова несколько особняком стоит работа, опубликованная в 1938 году и ставшая классической, относящаяся к математической физике. В связи с открытием Курской магнитной аномалии возник вопрос о возможности определения формы рудного пласта с помощью гравитационных измерений. С этим вопросом к нему обратился выдающийся физик и близкий друг П.С. Новикова академик М. А. Леонтович. Через некоторое время П.С. Новиков выполнил хорошо известную работу об уникальности восстановления формы тела по его гравитационному потенциалу. В ней он доказал, что два тела одинаковой постоянной плотности, звездные относительно некоторой общей внутренней точки (в частности, выпуклой) и обладающие одинаковым внешним гравитационным потенциалом, совпадают. Эта новаторская работа П. С. Новикова вызвала к жизни ряд исследований как теоретического, так и прикладного направлений и неоднократно цитировалась в геофизической литературе. Здесь невольно вспоминается замечание академического математика, который в интервьюС.И. Адьян вспомнил, что в свое время, когда он заинтересовался этим результатом П.С. Новикова, он не мог восстановить свое доказательство, не ссылаясь на саму работу, в то время как восстановить многие результаты других авторов в этой области не составляло труда. В конце 1930-х годов П. С. Новиков занялся проблемами математической логики и теорией алгоритмов. В начале 1940-х годов он предложил метод доказательства непротиворечивости формальных теорий, основанный на понятии «регулярности». Опираясь на этот метод, он доказал непротиворечивость арифметики с любыми рекурсивными определениями и невозможность вывода аксиомы полной индукции в любой непротиворечивой системе, содержащей все остальные аксиомы арифметики и любые другие аксиомы без переменных предикатов. После того как в 1930-х годах в математической логике появилось точное определение понятия алгоритма, открылась возможность исследования разрешимости определенных алгоритмических задач. Появились многочисленные исследования, доказывающие невозможность использования алгоритмов для решения различных задач в теории алгоритмов и в математической логике. Естественно возник вопрос: являются ли неразрешимые алгоритмические проблемы специфичными для самой теории алгоритмов?В 1955 году П. С. Новиков дал блестящий ответ на этот фундаментальный вопрос, опубликовав в работах МИАНА доказательство алгоритмической неразрешимости одной из классических задач алгебры – проблемы тождества слов в конечно определенных группах. Впервые он построил примеры определенных групп, для которых алгоритм распознавания данного слова невозможен, независимо от того, равно оно единице или нет.Результат П. С. Новикова о неразрешимости проблемы равенства слов вызвал лавину исследований по алгоритмическим проблемам алгебры.Основываясьна работе П. С. Новиков, С. И. Адьян доказал неразрешимость частной проблемы изоморфизма для любой фиксированной группы. В частности, была доказана неразрешимость задачи распознавания сингулярности, конечности, периодичности, коммутативности и многих других свойств. Тот факт, что одна из центральных задач теории групп была решена специалистом по математической логике, который ранее не опубликовал ни одной работы по алгебре, не случаен. Дело в том, что группы с определяющими отношениями определяются с помощью так называемого группового исчисления, которые связаны с логическими формальными системами. Успех был достигнут благодаря детальному изучению преобразований слов в групповом исчислении. Результат П. С. Новикова о неразрешимости проблемы идентичности и многочисленные следствия, полученные из него, убедительно показали, что неразрешимые алгоритмические задачи широко распространены в математике и что они встречаются среди очень актуальных алгоритмических задач. Этот результат П. С. Новикова был удостоен Ленинской премии в 1957 году. В конце 1950-х годов П. С. Новиков заинтересовался одной из самых сложных алгебраических задач - задачей Бернсайда о периодических группах. На протяжении многих десятилетий эта проблема оставалась в центре внимания выдающихся алгебраистов мира. Как отмечалось, проблема Бернсайда в ее наиболее значимой для алгебры форме и, как оказалось, самой сложной - это вопрос: будет ли конечна группа с конечным числом образующих и удовлетворяющая определенному тождеству? В 1959 году П. С. Новиков опубликовал статью, в которой предложил некоторый подход к получению отрицательного решения этой проблемы. Эта публикация стала тогда главной сенсацией в алгебраической науке, поскольку почти все алгебраисты ожидали положительного решения. Дальнейшие выдающиеся результаты по этой проблеме были получены в сотрудничестве с учеником П. С. Новикова С. И. Адьяном. Исключительная роль П.С. Новикова в развитии математики определяется не только его личными научными достижениями, но и многолетней разносторонней педагогической деятельностью, курсами лекций, которые он читал в Московском государственном педагогическом институте имени В. И. Ленина и в Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова. Ломоносов, научные семинары, на которых Петр Сергеевич воспитывал своих многочисленных учеников. После перевода в 1934 году на основную работу в Математический институт имени Стеклова Академии наук СССР он продолжал преподавать неполный рабочий день. С осени 1944 по 1971 год П.С. Новиков был заведующим кафедрой математического анализа Московского государственного педагогического института имени В. И. Ленина. За время его руководства эта кафедра окрепла и превратилась в первоклассную кафедру университетского уровня. Многие студенты педагогического института, окончившие аспирантуру у Петра Сергеевича, стали докторами наук и профессорами. Следует отметить, что П.С. Новиков руководил исследовательским семинаром по математической логике на механико-математическом факультете МГУ, который привлек всех московских, и не только московских, математиков, интересующихся основами математики и математической логикой. Именно здесь, задолго до открытия первой в нашей стране кафедры математической логики, сформировалась знаменитая научная школа П.С. Новикова в области математической логики и теории алгоритмов. Новиков является автором первого в русской литературе учебника по математической логике, опубликованного в 1959 году. Позже она была переведена на несколько иностранных языков. Книга П. С. Новикова «Конструктивная математическая логика с классической точки зрения», опубликованная в 1977 году, оказала большое влияние на исследования по теории доказательств и неклассической логике в нашей стране. Эта книга после смерти Петра Сергеевича была подготовлена к публикации его учеником Ф. А. Кабаковым на основе рукописей лекций, прочитанных Петром Сергеевичем во второй половине 1950-х годов. В 1953 году П.С. Новиков был избран членом Академии наук СССР, а в 1960 году – действительным членом Академии наук СССР по специальности «математика». Он возглавлял отдел математической логики Математического института им. В. А. Стеклова с момента его создания в 1957 году до марта 1973 года, когда в связи с болезнью написал заявление о переводе на должность старшего научного сотрудника. Все, кто знал и тесно общался с П.С. Новиковым, единодушно отмечали его исключительные моральные качества, честность и высокую порядочность. В этом отношении он был своего рода эталоном для окружающей его молодежи, и не только для нее. В течение многих лет П.С. Новиков и Н.Н. Малов одновременно возглавляли ведущие кафедры Московского государственного педагогического института имени В. И. Ленина. В 1986 году в своем выступлении на научной конференции, посвященной памяти П.С. Новикова, профессор Н. Н. Малов сказал: «Моральные качества Петра Сергеевича были абсолютно исключительными. Московские физики в 50-е годы обогатили систему единиц, которую они использовали, единицей приличия, названной единицей “тамм» в честь академика И. Е. Тамма. Если бы математики также использовали «единицы измерения», то они могли бы ввести аналогичную единицу под именем некоего «Новикова»» Среди примеров, подтверждающих эти его слова, Н.Н. Малов привел следующий случай. В конце 1960-х годов руководство Московского государственного педагогического института имени В. И. Ленина намеревался уволить нескольких сотрудников математического факультета, подписавших знаменитое письмо в защиту «диссидента» А. С. Есенина-Вольпина, помещенного в психиатрическую клинику. Затем, на заседании Ученого совета института, посвященном обсуждению этого вопроса, П.С. Новиков заявил, что он сам подписал такое же письмо, и поэтому, если сотрудники его отдела будут уволены за этот «поступок», он будет настаивать на том, чтобы его уволили по той же причине. Руководство педагогического института тогда воздержалось от увольнения сотрудников, а ограничилось «порицанием» их действий. П.С. Новиков был очень внимателен к своим студентам, щедро делился с ними своими научными идеями. При этом он подходил к каждому индивидуально, учитывая его возможности. Это можно проследить на примере его выдающегося ученика С.И. Адяна, научная судьба которого также тесно связана с нашим университетом. В 1949 году, после перевода из Еревана на учебу в Москву, С. И. Адян встретился с П.С. Новикова в стенах Московского государственного педагогического института имени В. И. Ленина, с тех пор их научные судьбы были тесно связаны. Он был ближайшим помощником Петра Сергеевича, соратником, соратницей по работе. Цикл известных работ П. С. Новикова по теории комбинаторных групп и теории алгоритмов был завершен им совместно с С. И. Адьяном. Слова П. С. Новикова о вкладе академика С. И. Адьяна в пояснениях к их совместной работе: «Последняя серия работ, которые принадлежат Сергею Ивановичу вместе со мной, на мой взгляд, является крупным вкладом в российскую науку, и роль Сергея Ивановича в этой работе была решающей». Как отмечает П. С. Новиков, С. И. Адьян«внес такой вклад в методы и приемы этой работы, что преодолел трудности, перед которыми я остановился, и те новые трудности, которые возникли в процессе работы». Петру Сергеевичу повезло в браке, у него была замечательная жена – доктор физико-математических наук, профессор Людмила Всеволодовна Келдыш. Людмила Всеволодовна была не только выдающимся математиком, но и любящей, заботливой женой и матерью. Они прожили счастливую совместную жизнь, вырастили и воспитывают пятерых детей, двое из которых стали действительными членами Академии наук. Пётр Новиков скончался 9 января 1975 года после продолжительной болезни.ЗАКЛЮЧЕНИЕВ рамках данного исследования проведён обзор жизни и деятельности Н.Н. Лузина, отмечены успехи основных представителей его научной школы. Как показало исследование, основные работы Н.Н.Лузина относятся к теории функций действительной переменной. Диссертация «Интегральные и тригонометрические ряды» (1915) содержит фундаментальные результаты, оказавшие решающее влияние на дальнейшее развитие метрической теории функций. Н.Н.Лузин является одним из создателей дескриптивной теории функций, где особенно важно открытие проективных множеств, относительно которых Лузин высказал мнение, что для них невозможно решить (в классическом понимании) ряд задач, в частности вопрос об их измеримости.Публичное официальное политическое преследование Н. Лузина было начато статьями в газете «Правда»: 2 июля 1936 года «Ответ академику Н. Лузину» и 3 июля 1936 года «О врагах в советской маске». Волна митингов с решениями в поддержку критики Лузина прокатилась по научным и партийным организациям страны. Официальное заключение комиссии Академии наук СССР было опубликовано в «Правде» 6 августа 1936 года. Также было опубликовано «Постановление Президиума Академии наук об академике Н.Н.Лузине», в котором говорилось: «Президиум считает возможным ограничиться предупреждением Н.Н. Лузина...». Это постановление было отменено только в 2012 году, через много лет после смерти Лузина.Н.Н.Лузин - основатель Московской математической школы. Среди его учеников математики П.С.Александров, М.А.Лаврентьев, А.Н.Колмогоров, Л.Г.Шнирельман, П.С.Новиков, Л.В.Келдыш и другие. В базе данных «Математическая генеалогия» Н.Н.Лузин насчитывает более 4000 научных потомков. СПИСОК ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫАдян С. И. К столетию со дня рождения Петра Сергеевича Новикова // Успехи математических наук. – 2001. – Т. 56, вып. 4 (340). – С. 177–184. – URL: http://www.mathnet.ru/ php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=rm&paperid=437&option_lang=rus (дата обращения: 24.11.2022). Адян С. И. Проблема Бернсайда и связанные с ней вопросы // Успехи математических наук. – 2010. – Т. 65, вып. 5 (395). – С. 5–60. – URL: http://www.mathnet.ru/php/archive.pht ml?wshow=paper&jrnid=rm&paperid=9376&o ption_lang=rus (дата обращения: 24.11.2022).Добрина, Е.А. Обзор научных трудов Н.Н. Лузина // Сборник трудов Всероссийской конференции по истории математики и математического образования, посвященной 130-летию со дня рождения Н.Н. Лузина. редколлегия: Е.Н. Герасимова, С.С. Демидов, Р.А. Мельников, О.А. Саввина. 2013. С. 43-48Ергин, Ю.В. и др. Академик М.А. Лаврентьев в Уфе в годы Великой отечественной войны // Проблемы современного физического образования. Сборник материалов V Всероссийской научно-методической конференции. Ответственный редактор М.Х Балапанов. 2019. С. 292-294.Колмогоров в воспоминаниях учеников /Сб. ст. М., 2015 – 424 с.Конченко, Л.А. Дальновидный образовательный проект А.Н. Колмогорова // Математическое образование. 2009. № 2 (50). С. 77-83.Кравчук, Е.Е Жизнь и научная деятельность Андрея Колмогорова // Академическая публицистика. 2022. № 6-1. С. 23-25.Куперштох, Н.А. основатель института гидродинамики СО РАН: к 110-летию со дня рождения академика Н.А. Лаврентьева // Гуманитарные науки в Сибири. 2010. № 4. С. 56-60.Мерлина, Н.Н. Первый чувашский математик – ученик Н.Н. Лузина // Сборник трудов Всероссийской конференции по истории математики и математического образования, посвященной 130-летию со дня рождения Н.Н. Лузина. редколлегия: Е.Н. Герасимова, С.С. Демидов, Р.А. Мельников, О.А. Саввина. 2013. С. 68-78.Мороз, В.В. Математика в истории русской философии: философско-математический синтез. Курск, 2019. – 266 с.Новиков П. С. Избранные труды. (Теория множеств и функций. Математическая логика и алгебра). – М.: Наука, 1979. – 396 с. Новиков С. П. Мои истории. – URL: http:// docplayer.ru/25800916-Sergey-novikov-moiistorii.html (дата обращения: 03.12.2022). Перминов, В.Я. Философия математики Н.Н. Лузина // Проблемы онто-гносеологического обоснования математических и естественных наук. 2018. № 9. С. 90-98.Пырков, В.Е. К 125-летнему юбилею П.С. Александрова // Математика. Первое сентября. 2021. № 4. С. 35-38.Токарева, Т.А. Академия наук в защиту Н.Н. Лузина // Институт истории естествознания и техники им. С.И. Вавилова. Годичная научная конференция, 1998. Редколлегия: Орел В.М. ответственный редактор, Гвоздецкий В.Л., Идлис Г.М., Илизаров С.С., Мирзоян Э.Н., Мирская Е.З., Постников А.В., Токарева Т.А. ответственный секретарь. 1999. С. 411-416Юшкевич, А.П. «Дело» академика Н.Н. Лузина //Репрессированная наука.  Ярошевский М.Г., Мелуа А.И., Орел В.М. Сер. «Репрессированная наука» Ленинградский отдел Института истории естествознания и техники АН СССР. Под общей редакцией М.Г. Ярошевского; Составитель А.И. Мелуа, В.М. Орел. Ленинград, 1991. С. 377-394.