Методика решения задач на тему: Смеси и сплавы в 7 классе

В рамках первого рассматриваемого метода обозначенные в задачи смеси и сплавы представляются в виде прямоугольников с выделенными фрагментами, количество таких фрагментов равно количеству элементов, входящих в рассматриваемую смесь или сплав. В качестве примера рассмотрим следующую задачу.Задача 1. Имеется два сплава меди и олова. Один сплав содержит 72% меди, а другой 80% меди. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 800г сплава, содержащего 75% меди?В процессе решения каждый из сплавов представляется в виде прямоугольника, в котором выделяется два фрагмента, также при построении рисунка можно отобразить сам характер проводимых преобразований, т.е. сплав. Так, объединяем между собой первый и второй прямоугольник знаком сложения, а результат подобного процесса представляется через знак равенства. Итоговая схема процесса будет выглядеть примерно так:После этого производится заполнение прямоугольников данными, представленными в задаче. Так, указываются соответствующие компоненты сплава, а внутри прямоугольников вписывается их процентное содержание. Кроме того, указывается масса каждого из сплавов или комплнентов, данные о которой представлены в условиях задачи. Пример:Решение.1-й способ. Пусть х г – масса первого сплава. Тогда, (800 – х) г – масса второго сплава. Дополним последнюю схему этими выражениями. Получим следующую схему:Сумма масс меди в двух первых сплавах (то есть слева от знака равенства) равна массе меди в полученном третьем сплаве (справа от знака равенства): 0,72х + 0,8*(800-х) = 0,75*800Решив это уравнение, получаем х=500. При этом значении х выражение 800-х=300. Это означает, что первого сплава надо взять 500 г, а второго – 300 г.Ответ:500 г, 300 г.2-й способ. Пусть х г и у г – масса соответственно первого и второго сплавов, то есть пусть исходная схема имеет вид:Легко устанавливается каждое из уравнений системы двух линейных уравнений с двумя переменными:0,72х + 0,8у = 0,75*800х+у = 800Решение системы приводит к результату: х=500, у=300. Значит, первого сплава надо взять 500 г, а второго – 300 г.Ответ:500 г, 300 г.Данная модель позволяет достаточно просто перейти от заданных в задаче условий к процессу ее решения с использование стандартных для математических задач путей, таких как решение уравнений. Задача.Есть два сосуда, в которых налито 5 кг и 8 кг раствора кислоты, имеющей различную концентрацию. Если содержимое этих сосудов слить вместе, то то получится раствор, концентрация которого будет составлять 52,5 %. Если брать равные массы растворов, то полученный будет содержать 45 % кислоты. Какое процентное содержание кислоты в первом растворе? [Ахтямова, c. 62]. Решение задачи представлено на рисунке 1. Составим и решим систему уравнений: x + y = 2 × 0,525, 5x + 8y = 13 × 0,45; y = 1,05 - x, 5x + 8 (1,05 - x) = 5,85; х = 0,85, у = 0,2. Ответ: 85 % кислоты. Рисунок 1 - Решение задач методом чашЗадача. В двух сплавах различное содержание серебра: в первом содержится 60 %, а во втором — 45 %. В каком отношении надо взять сплавы, чтобы получить из них новый, содержащий 55 % серебра? [ОГЭ, c. 110]. Решение задачи представлено на рисунке 2. По условию задачи составим и решим уравнение: 0,6 × х + 0,45 × у = 0,55 × (х + у); х = 2 × у. Ответ: сплавы необходимо взять в отношении 2 к 1.Рисунок 2- Решение задач методом чашЗадача. 8 кг свежих цветков розы содержат 85 % воды. После высушивания их влажность составляет 20 %. Чему равна масса цветов после сушки? [Там же. С. 162]. Решение задачи представлено на рисунке 3. По условию задачи составим и решим уравнение: 8 × (1 – 0,85) = х × 0,8; x = 1,5. Ответ: масса высушенных цветов 1,5 кг.Рисунок 3 - Решение задач методом чашКроме того, могут быть рассмотрены также и другие виды методов решения текстовых задач. Остановимся на них более подробно.Квадрат Пирсона, в некоторой литературе данный метод обозначается также как метод креста или конверт Пирсона. При решении задач данным методом, значения концентрации вещества записываются друг под другом и рассматриваются как пара чисел. При этом в каждой из пар производится вычитание из большего значения меньшего, результат данных вычислений записывается по диагонали. После чего осуществляется поиск равенства в отношении масс и получившихся долей. Схема представлена на рисунке 4.Рисунок 4 - Квадрат ПирсонаЗадача. При смешивании двух растворов кислоты, концентрации которых 30 %, и 50 %, получили раствор, содержащий 45 % кислоты. В каком отношении были взяты первый и второй растворы? [Ахтямова, c. 61]. Решение задачи представлено на рисунке 5. Составим пропорцию: = = Ответ: растворы были взяты в отношении 1 к 3.Рисунок 5 - Решение задачи методом крестаЗадача. Смешали некоторое количество 21-процентного раствора с таким же количеством 95-процентного раствора этого же вещества. Какова концентрация полученного раствора? [ОГЭ, с. 168]. Решение задачи представлено на рисунке 6. Составим и решим пропорцию: = х = 58 %. Ответ: 58 % концентрация смеси.Рисунок 6 - Решение задачи методом крестаЗадача. Свежие грибы содержат 80 % воды, сушеные — 28 %. Сколько сухих грибов получается из 288 кг свежих? [2, с. 64]. Решение. Определяем содержание мякоти и составляем модель (рисунок 7). Составим уравнение: 72 × х = 20 × 288; x = 80. Ответ: 80 кг сухих фруктов.Рисунок 7 - Решение задачи методом крестаМетод «рыбка». Свое название данный метод получил благодаря тому, что при решении задачи строится схема, которая своим видом напоминает рыбу. Принцип решения при этом напоминает использование квадрата Пирсона и может рассматриваться как его аналог. Решение задачи с использованием данного метода предполагает совершение следующих действий: друг под другом располагаются данные о веществах, которые содержатся в растворах или сплавах, с левой стороны по середине фиксируется содержание вещества, которое в конечном итоге должно получится. После чего составляется и решается пропорция, содержащая в себе отношение масс растворов и долей растворов, представленное в конечном веществе. Схема решении задачи подобным образом на рисунке 8 [Огрызко].Рисунок 8 - Схема метода «рыбка»Задача 12. В процессе смешивания двух растворов кислоты, у которых значение концентрации равно 20% и 50% соответственно, получился раствор, в котором концентрация составляет 30%. В каком соотношении были использованы данные растворы? [Ахтямова, c. 59]. Решение задачи представлено на рисунке 9. х : у = 20 : 10. Ответ: растворы были взяты в отношении 2 к 1.Рисунок 9 - Способ решения задачиЗадача. В первом сплаве содержится 5% аллюминия, а во втором 13%. Масса первого меньше массы второго сплава на 4 кг. Был получен третий сплав с содержанием алюминия 10 %. Найти массу третьего сплава [Огрызко]. Решение задачи представлено на рисунке 10. Составим пропорцию: = Решим 5 × х = 3 × (х + 4); х = 6 кг — масса первого сплава. Масса первого сплава на 4 меньше, значит = 10 кг. Масса третьего сплава 10 + 6 = 16 кг. Ответ: 16 кгРисунок 10 - Способ решения задачиЗадача. Свежие фрукты содержат 78 % воды, а высушенные — 22 %. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 22 кг высушенных фруктов? [5, c. 188]. Решение. Определяем содержание мякоти веществ и составляем модель (рисунок 11). Составим уравнение: 78 × 22 = 22 × х + 0; х = 78. Ответ: 78 кг свежих фруктов необходимо.Рисунок 11 - Способ решения задачиТаким образом, было рассмотрено несколько способов решения текстовых задач на смеси и сплавы. В качестве различий в рамках данных способов можно обозначить процесс перевода условий задачи на математический язык. При этом способы являются достаточно похожими между собой. Заключение Формирование умения решать текстовые задачи выступает в качестве одной из важных задач в процессе усвоения математического знания. Текстовые задачи способствуют формированию ряда важных умений, таких как анализ текста, определение главных составляющих, формирование плана решения задачи, проверка полученного в ходе решения результата и т.д. Важным умением, которое необходимо развивать для того, чтобы успешно решать текстовые задачи, является способность переводить текстовые условия на математический язык, то есть выражать их посредством математической модели. Успешная реализация процесса развития навыков решения текстовых задач способствует развитию логического и образного мышления, а также благоприятно сказывается на эффективности усвоения не только знаний в области математики, но и в рамках смежных дисциплин.В данном исследовании задача рассматривается в качестве требования, которое предъявляется к деятельности субъекта, а также как условие реализации данной деятельности. Также стоит отметить, что задача включает в себя различные аспекты, представленные и рассмотренные в научной теории. Отсюда следует, что рассмотрение задачи осуществляется со следующих позиций: в качестве цели деятельности; в качестве ситуации, в рамках которой субъекту необходимо производить ряд действий для того, чтобы найти неизвестное через поиск связи с этим неизвестным; в качестве ситуации, описанной в предыдущем варианте, но при этом дополненной наличием определенных условий, таких как отсутствие изначального понимания о способе подобного действия. Критерием понимания проблемы является факт ее решения. В процессе обучения решению текстовых задач школьники учатся ориентации в различных ситуациях, что в целом повышает уровень их грамотности. Одним из важных направлений при обучении решению задач является анализ способов решения текстовых задач на смеси и сплавы. Интерес к данного вида задачам обусловлен тем, что если раньше умение решать подобные задачи было необходимо только тем, кто планирует углубленно изучать математику, то в настоящее время такие задачи присутствуют также и в материалах итоговой аттестациипо математике.Умение находить процентное соотношение необходимо не только для того, чтобы успешно сдать итоговые экзамены, оно также пригодится и в обыденной жизни, так как в ней постоянно присутствуют различные смеси, растворы и сплавы. В связи с чем при обучению школьников решению подобных задач важно показать, что они также имеют определенный практический характер. Умение решать задачи на процентное соотношение важно не только для успешной сдачи выпускных экзаменов, но также и вобычной жизни, так как всем людям время от времени приходится сталкиваться с различными растворами, смесями или даже сплавами. Однако, как показало проведенное исследование теоретической литературы, в настоящее время школьники часто испытывают трудности при решении подобных задач. Данная проблема связана с тем, что подобным задачам уделяется недостаточно внимания при обучении математике в школе, поэтому для учащихся они воспринимаются как нечто новое и непонятное. В связи с чем рассматриваемый вопроснуждается в дальнейшем изучении и практической реализации. В рамках настоящего исследования были рассмотрены основные способы, которые применяются в процессе решения задач на смеси и сплавы. Так были выделены особенности арифметического иалгебраического методов. А также представлены нетрадиционные способы, которые могут быть использованы в процессе решения подобных задач. В качестве последних можно выделить метод чаш, квадрат Пирсона, метод «рыбка». В целом стоит отметить, что нетрадиционные способы являются достаточно похожими между собой и отличаются лишь способом представления известных и искомых данных. Список использованной литературыАбульханова-Славская К. А. Мысль в действии. М.: Политиздат, 1968. 208 с.Ахтямова, Л. Н. Методика обучения учащихся решению задач на проценты в курсе алгебры основной школы: выпускная квалификационная работа: 44.03.05 / Ахтямова Лидия Николаевна. — Тольятти, 2016. — 71 с.Балл Г. А. Теория учебных задач: Психолого-педагогический аспект. М.: Педагогика, 1990. 184 с.Белинский С. С. ОБ Определении понятия текстовая задача по математике // Вестник магистратуры. 2013. №12-4 (27). С. 60-62Блажина Е.В. Текстовые задачи в школьном курсе математики /Е.В. Блажина // Открытый урок. Первое сентября [Электронный ресурс]. –Режим доступа: http://festival.1september.ru/articles/604951Бухарова Г.Д. Основные понятия теории решения задач и теории обучения решению задач // Образование и наука. 2011. №3. С. 44-58Васильева Г.Н. Методические аспекты деятельностного подхода при обучении математике в средней школе: практико-ориентированная монография / Г.Н. Васильева. – Пермь: Изд-во ПГГПУ, 2009 – 136 с.Вилутис А.С. Текстовые задачи в курсе средней школы / А.С. Вилутис // Социальная сеть работников образования [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://nsportal.ru/shkola/matematika/library (датаГоловин С.Ю. Словарь практического психолога. Минск: Харвест, 1998.Гурова Л. Л. Психология мышления. М.: ПЕРСЭ, 2005. 136 с.Демидова Т.Е. Теория и практика решения текстовых задач: учеб.пособие для вузов / Т.Е. Демидова, А.П. Тонких – М. : Академия, 2002 –285 с.Зайцева Г.И. Методы решения текстовых задач на смеси и сплавы на уроках математики // Обучение и воспитание: методики и практика. 2015. №22. С. 114-118Запорожец А. В. Восприятие и действие / под ред. А. В. Запорожца. М.: Просвещение, 1965. 240 с.Иванова Т.А. Технология обучения школьников решению математических задач / Т.А. Иванова // Задачи в обучении математике: теория, опыт, инновации. Материалы Всероссийской научно-практической конференции, посвященной 115-летию член.-корр. АПН СССР П.А. Ларичева. – Вологда: Изд-во «Русь», 2007 – С. 246-250Леонтьев А. Н. Деятельность. Сознание. Личность. 2-е изд., стер. М.: Академия, 2005. 352 с.Ляпин С.Е. Методика преподавания математики. М.; Л., 1952.ОГЭ. Математика. Типовые экзаменационные варианты: 36 вариантов / под. ред. И. В. Ященко. — М.: Издательство «Национальное образование», 2016. — 240 с.Огрызко, И. В. Решение задач на смеси и сплавы методом Магницкого [Электронный ресурс] / И. В. Огрызко // Мультиурок — проект для учителей. — URL: https:// multiurok.ru/files/rieshieniie-zadach-na-smiesi-i-splavy-mietodom-maq. htmlПойа Дж. Математическое открытие. Решение задач: основные понятия, изучение и преподавание / пер. с англ. В. С. Бермана; под ред. И. М. Яглома. М.: Наука, 1970. 452 с.Пономарев Я. А. Психология творчества и педагогика. М.: Педагогика, 1976. 280 с.Попов Н.И. Использование специальной методики при обучении решению математических задач / Н.И. Попов, А.Н. Марасанов // Вестник МГОУ. Серия: Педагогика. – 2014 – № 1 – С. 86 - 89Поткина А.А. Методы решения текстовых задач на смеси и сплавы // Научно-методический электронный журнал «Калининградский вестник образования». 2022. №2 (14). С. 30-45Рубинштейн С. Л. Основы общей психологии: в 2 т. М.: Педагогика, 1989. Т. 1. 488 с.Сафронова Т.М., Симоновская Г.А., Черноусова Н.В. Компетентностный подход в современном российском образовании и его реализация при подготовке учащихся к единому государственному экзамену по математике // Вестник Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина. - Вып.28.: Серия «Педагогика» (История и теория математического образования). – Елец: ЕГУ им. И.А.Бунина, 2011. – 216 с.Слонимская, И.С. Математика. Решение текстовых задач / И.С. Слонимская. - М.: АСТ, 2018. - 801 c.Теория и технология обучения математике в средней школе: учеб. пособие для студ. мат. спец. пед. вузов / Т.А. Иванова, Е.Н. Перевощикова, Л.И. Кузнецова и Т.П. Григорьева; под ред. Т.А. Иванова. – 2-е изд. – Н. Новгород: НГПУ, 2009 – 355 с.Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935-1940.Фридман Л.М. Основы проблемологии / Серия: Проблемология. М: Синтег, 2001. 228 с.Фридман Л.М., Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи: Кн. для учащихся ст. классов сред.школы. – 3-е изд., доработанное. М.: Просвещение, 1989.Шарова О.П. Сюжетные задачи в обучении математике // Ярославский педагогический вестник. 2005. № 2. С. 120-126.Эсаулов А. Ф. Психология решения задач. М.: : Высш. школа, 1972. - 216 с.Эрдниев П.М. Очерки по методике преподавания математикив средней школе / П. М. Эрдниев. – Элиста: Калмиздат, 1968 – 344 с.