Расчёт линейной электрической цепи в установившемся и переходном режимах

Получено дифференциальное уравнение 2-го порядка, описывающее закон изменения напряжения конденсатора.

Решаем характеристическое уравнение:


Так как получены комплексно-сопряженные корни характеристического уравнения, то закон изменения напряжения конденсатора после замыкания ключа К1 ищем в виде:

Принужденная составляющая напряжения:
Свободная составляющая:












Находим параметры свободной составляющей.



Таким образом, получаем и решаем систему уравнений:



Таким образом, получен закон изменения напряжения конденсатора после замыкания ключа К1






Определяем закон изменения тока:




По результатам проведенных расчетов составляем таблицу

Таблица 3.3
Первая коммутация Момент
коммутации Начальные
условия р1 р2 t = 0 uc(0) = 0
i(0) = 0


б) Рассматриваем размыкание ключа К2 в момент t=t1=8 мс.



Рис.3.4 Расчетная схема цепи после размыкания К2.




Рассчитываем значения напряжения конденсатора и тока цепи через время t1=8 мс после замыкания ключа K1 (независимые начальные условия для 2-й коммутации).




Аналогично расчетам п.а) производим расчет переходного процесса.





Таким образом, получен закон изменения напряжения конденсатора после замыкания ключа К2



Определяем закон изменения тока:


По результатам проведенных расчетов составляем таблицу

Таблица 3.4
Вторая коммутация Момент
коммутации Начальные
условия р1 р2 t1= 8 мс uc(t1) =32.83 B
i(t1) =- 0.412 A

По проведенным расчетам записываем закон изменения тока в цепи при заданных коммутациях.



По этим формулам строим график изменения тока при заданных коммутациях.



Рис.3.5 График изменения тока цепи при заданных коммутациях.







3. Производим расчет цепи в установившемся режиме после размыкания ключа К2 при воздействии на вход цепи источника синусоидального напряжения:



Рис.3.6 Комплексная схема цепи переменного тока в установившемся режиме после коммутации.

Рассчитываем реактивные сопротивления катушки и конденсатора на заданной частоте f=360 Гц.



Комплексное значение полного сопротивления цепи:



Комплексная амплитуда напряжения:
Комплексная амплитуда тока:

Записываем выражение для мгновенного значения тока:








По этому выражению строим график тока:



Рис.3.7 График цепи переменного тока в установившемся режиме.












4. Рассчитываем операторным методом переходный ток в цепи при размыкании ключа К2.

4.1. Рассчитываем докоммутационный режим (параметры цепи до размыкания ключа).


Рис.3.8 Комплексная схема цепи переменного тока в установившемся режиме до коммутации.


Комплексное значение полного сопротивления цепи:



Комплексная амплитуда напряжения:
Комплексная амплитуда тока:

Комплексная амплитуда напряжения конденсатора:

Записываем выражение для мгновенных значений тока и напряжения конденсатора и определяем их значения для момента коммутации t=0:







4.2. Установившийся режим цепи после коммутации был рассчитан в п.3. Для этого режима было определено:



Соответственно, записываем принужденные составляющие переходного процесса и определяем их значения для момента времени t=0


Рассчитываем значения свободных составляющих для момента времени t=0:



С учетом этих значений составляем операторную схему замещения цепи для свободных составляющих.


Рис.3.9 Операторная схема замещения цепи для свободных составляющих.








По полученной операторной схеме замещения находим операторное выражение для тока:


Для полученного операторного изображения находим оригинал:


Суммируя принужденную и свободную составляющие тока, получаем формулу тока при переходном процессе:



Записываем выражение для тока при заданной коммутации в цепи с источником синусоидального напряжения.


По полученной формуле строим графики тока.

Рис.3.9 График изменения тока при размыкании ключа К2 в момент времени t=0.

Рис.3.10 Графики свободной и принужденной составляющих тока.


Рис.3.11 Графики переходного тока и его принужденной составляющей.







БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК



1. Атабеков Г.И. Основы теории цепей.3-е изд.,стер. - СПб.:Изд-во"Лань", 2009 – 432 с.
2. Атабеков Г.И.Основы теории цепей .4-е изд.стер. - СПб.: Изд-во "Лань, 2017 - 424 с. ЭБС - ISBN: 978-5-8114-0699-9.
3. Бондаренко В.В. Основы теории цепей.
Раздел 1: Учеб.пособие.- СПб.:СПбГУКиТ,2004-72 с.
Раздел 2: Учеб. пособие. -СПб.:СПбГУКиТ,2005-56 с.
Раздел 3: Учеб.пособие.- СПб.:СПбГУКиТ,2006-57 с.