Наилучшее равномерное приближение функций алгебраическими и тригонометрическими многочленами

Тип работы: Курсовая работа

Предмет: Численные методы

21 21 страница
2 + 2 источника
Добавлена 30.03.2012

1 000 руб.

Содержание
Часть работы
Список литературы
Вопросы/Ответы

Задание
1. Постановка задачи
2. Приближение функции с заданной точностью
3. Нахождение многочлена наилучшего равномерного приближения
4. Алгоритм Ремеза
Заключение
Список литературы

Фрагмент для ознакомления

В получившихся полиномах доминируют четные степени – функцию-то пытаемся приблизить четную – и коэффициенты при четных степенях не то, чтобы совпадают, но очень похожи.
4.Мне необходимо рассмотреть пример y=sin3x , приблизить с помощью алгебраических многочленов, используя оба алгоритма.
В пункте (2.) я описала с какой проблемой я столкнулась в первом алгоритме,
Эффект последней точки в этом алгоритме вещь практически неизбывная. Тут можно посоветовать только продлить интервал аппроксимации так, чтобы этот эффект ушел за край того интервала, который нам действительно нужен:

На интервале [-1;1] практически полная красота (
а в предыдущем письме - какие сложности во втором алгоритме (а именно значение отклонения знакопеременно но не равно по модулю для всех точек максимума).
Тут алгоритм себя ведет интересно ( При низких степенях полинома (3 и 4) ошибка существенная, но ведет себя правильно – знакопеременная и равная по модулю. При степени 5 приближение практически идеальное, отклонение в тысячных, ошибка тоже красивая. При более высоких степенях ошибка еще чуть уменьшается, но точки группируются таким образом, что в левой части интервала повторяют расположение для полинома 5 степени, а все остальные точки вытесняются за последнюю точку полинома 5 степени на правый конец отрезка и расположены довольно тесно. Из-за этого ошибка на правом конце интервала несколько вылезает. Что тут можно посоветовать не знаю ( Разве что ограничиться 5 степенью полинома, т.е. 7 точками. Прилагаю файл с расчетом для аппроксимации по 7 точкам и еще одну версию project4 с мелкими исправлениями.

n=3 (5 точек)

n=5 (7 точек)

n=7 (9 точек)

1. Березин И.С., Жидков Н.Д. Методы вычислений. Том I. – М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1962. – 464 с.
2. Sherif A. Tawfik Minimax Approximation and Remez Algorithm, July 24, 2005 – [Электронный ресурс: файл Remez.pdf]

Вопрос-ответ:

Что такое наилучшее равномерное приближение функций?

Наилучшее равномерное приближение функций - это задача определения многочлена, который наилучшим образом приближает данную функцию на заданном интервале с заданной точностью.

Как можно приблизить функцию с заданной точностью?

Для приближения функции с заданной точностью можно использовать алгебраические и тригонометрические многочлены. Они позволяют аппроксимировать функцию с заданной точностью на заданном интервале.

Как найти многочлен наилучшего равномерного приближения?

Для нахождения многочлена наилучшего равномерного приближения можно использовать метод Ремеза. Этот метод позволяет найти многочлен, который обладает некоторыми оптимальными свойствами и приближает функцию наилучшим образом.

Что делать, если функция имеет доминирующие четные степени?

Если функция имеет доминирующие четные степени, то в приближающем многочлене тоже будут доминировать четные степени. При этом коэффициенты при четных степенях многочлена будут похожи на коэффициенты функции, но не обязательно совпадать с ними.

Можно ли привести пример приближения функции sin(3x)?

Да, можно привести пример приближения функции sin(3x) с помощью алгебраического или тригонометрического многочлена. Для этого необходимо выбрать интервал и задать точность приближения.

Какова постановка задачи при приближении функций алгебраическими и тригонометрическими многочленами?

При приближении функций алгебраическими и тригонометрическими многочленами задача заключается в нахождении многочлена, который будет наилучшим равномерным приближением исходной функции на заданном интервале с заданной точностью.

Каким образом можно приблизить функцию с заданной точностью при использовании алгебраических и тригонометрических многочленов?

Для приближения функции с заданной точностью с помощью алгебраических и тригонометрических многочленов необходимо определить степень многочлена и коэффициенты при его членах таким образом, чтобы разность между исходной функцией и многочленом была минимальной на всем заданном интервале.

Существует ли алгоритм нахождения многочлена наилучшего равномерного приближения для данной функции?

Да, существует алгоритм Ремеза, который позволяет найти многочлен наилучшего равномерного приближения для данной функции с заданной точностью. Алгоритм Ремеза основан на методе последовательного уточнения полинома и определении его коэффициентов.