Справедливость термодинамических подходов к описанию возбуждённых состояний атомных ядер

В дальнейшем нас будет интересовать только заключительная стадия коллапса, когда средняя плотность ядра ρ будет порядка ρо/10кρо, где ρo — бесконечная плотность ядерной материи.Для обычной ядерной материи ρo составляет около 0,17 Фм–3 (3·1014 г/см3). Лептонная доля Yv, равная 0,35, соответствует Ye = 0,30. Из-за электронейтральности Z/A равно 0,30 вместо значения симметричной ядерной материи 0,50. Результирующая плотность насыщения ρo уже не равна 0,17, а приближается к 0,14 Фм–3. Точно так же модуль несжимаемости составляет примерно 140 МэВ вместо 220 МэВ.4.2. Описание модели ядраОжидается, что в рассматриваемой нами области плотности ядро ​​будет твердым. Таким образом, его можно описать как кристалл с ядром в каждом месте, межузельное пространство которого заполнено диффузным нуклонным газом.4.2.1. Приближение Вигнера-Зейтца. Для вывода уравнения состояния воспользуемся приближением Вигнера-Зейтца. Расчет всего ядра заменяется расчетом свойств отдельной элементарной ячейки, окружающей данный участок. Эта задача до сих пор остается очень сложной из-за достаточно сложной многогранной формы элементарной ячейки. Если газ, заполняющий межузельное пространство, распределен равномерно, ячейку Вигнера-Зейтца можно заменить сферой. Поправки на кривизну малы, когда размер ядра мал по сравнению с размером ячейки - т.е. когда расстояние между соседними ядрами мало по сравнению с размером сетки - и когда плотность внешнего газа остается низкой. Это сводит исходную трехмерную задачу к одномерной. Минимум заданного термодинамического потенциала , характеризующего ядро, получается путем вычисления его значенияс в элементарной ячейке, содержащей Ac-нуклоны, и минимизации с/АсотносительноAc.Необходимо выполнить два дополнительных условия. Первое связано с гипотезой сферической геометрии: разумное сопоставление между двумя соседними ячейками возможно только в том случае, если плотность остается постоянной вблизи поверхности. Например, для кубического гранецентрированного кристалла плотность должна оставаться постоянной на расстоянии от поверхности, равном = 0,19 R, где R — радиус ячейки. Это расстояние представляет собой перекрытие между двумя соседними ячейками, полученное путем наложения условия, что объем ядра равен объему всех ячеек.Чтобы приближение Вигнера-Зейтца было справедливым, кристалл должен быть твердым: он не должен плавиться. В первом приближении вещество можно рассматривать как однокомпонентную плазму, т. е. систему точечных ядер, окруженную однородным фоном отрицательных зарядов. Для такой системы вещество будет твердым, если параметр плазмы Г = Z2e2/RkT больше, чем 155. Для более низких значений Г можно включить поправки на кулоновскую жидкость.Даже в менее благоприятных случаях, с которыми приходится сталкиваться, эти поправки остаются незначительными. Наконец, приближение Вигнера-Зейтца заменяет бесконечную, но периодическую систему единственной ячейкой с соответствующими граничными условиями. Это равносильно замене каждой полосы одним изолированным уровнем: следует ожидать коррекции ширины полосы. Это приближение можно обосновать в пределе большого числа частиц в каждом узле кристалла.4.2.2. Определение термодинамического потенциала.Выбираем работу в большом каноническом ансамбле и минимизируем великий потенциал в одной ячейке: = n,ρ + e + v + Vρ,e,где n,ρ — барионный гранд-потенциал без кулоновских членов, e — электронный, а v — нейтринный. Последнее слагаемое представляет собой энергию кулоновского взаимодействия между протонами и электронами: Vρ,e= Vcoul(ρρ — ρe),где ρρ — плотность протонов, ρe — Yeρ —электронная плотность, выбраннаяравномерной.Микроскопический расчет n,ρвыполняется в приближении Хартри-Фока с подходящей эффективной силой двух тел (см. раздел 3.2). Граничные условия на поверхности ячейки выбираются так, чтобы было правильное согласование между соседними ячейками. Для этого к одночастичным волновым функциям на поверхности налагается заданная четность. Свободу выбора этой четности можно использовать как проверку приближения Вигнера-Зейтца, которое должно быть независимым от любого разумного выбора.4.2.3. Электронный вкладСледующим шагом является расчет электронного вклада n,e для заданного Yе. Можно сделать несколько упрощений.Прежде всего, электроны ультрарелятивистские. При плотности барионов, превышающей 0,02 Фм–3, плотность электронов ρесоставляет по крайней мере порядка 0,01, а их фермиевский импульс равен Тогда масса электрона пренебрежимо мала и не превышает 10–4, а энергия Ферми становится равной:Электроны можно рассматривать как свободные частицы: для ρе ~ 0,01 Фм–3 среднее расстояние между двумя электронами составляет Их энергия кулоновского взаимодействия е2/a < 0.3МэВ много меньше энергии Ферми Наконец, поскольку во время коллапса температура всегда на порядок ниже, чем , можно использовать низкотемпературное расширение:где число электронов в ячейке Ne равно числу протонов, — температура Ферми: Химический потенциал 𝜇e смещается на кулоновскую энергию решетки Е0, возникающую в результате взаимодействия протона с электроном Vρ,c. Для T, ρe и ρp, заданных в ячейке, расчет и 𝜇e выполняется следующим образом: если пренебречь энергией решетки E0 в (4.2), то давление электронов пропорционально плотности электронов в степени 4/3.4.2.4. Метод разрешения.Из предыдущей истории звезды известны энтропия на барион и концентрация лептонов в начале коллапса: S/A =1 и Yi = 0,35. Необходимо сделать три последовательных выбора:1. Ye – для которого произвольно зафиксировали некоторое значение меньше Yi, напр. 0,30. Плотность электронов тогда определяется выражением: ρe = Yeρ.2. Т - порядка 1 МэВ для наименьшей плотности, которую будем рассматривать.3. Ае – Число нуклонов в ячейке.Эти три величины априори неизвестны, о них можно догадаться из ранее сходившегося расчета для соседней плотности. Численное разрешение выполняется в три этапа:• Учитывая Ac, Ye и ρ, можно определить N, Z и радиус ячейки. Уравнения среднего поля (3.9) решаются для выбранной температуры. Из их решения вычисляются большой потенциал , химические потенциалы 𝜇n и 𝜇ρи энтропия бариона Sn,ρ.• ,𝜇e и электронная энтропия Se определяются из плотности протонов ρρ(r) и ρe.• Химический потенциал нейтрино 𝜇v получается из β равновесия. Уравнения (4.1) и (4.2) справедливы для нейтрино, однако их вырождение равно 1 – одному состоянию спиральности – и отсутствует энергия решетки (E0 = 0 в (4.2)). Они дают ρv, концентрацию нейтрино Yv, большой потенциал и энтропию Sv.Следующим шагом является получение минимума /Ac в ячейке как функции Ae.Температуру изменяют до тех пор, пока энтропия на барион S/A = (Sn,ρ + Se + Sv)/Ае не станет равна 1. Для каждого пробного значения температуры Ас приходится варьировать снова. Наконец, концентрация электронов Ye регулируется так, чтобы сумма Ye+ Yv была равна YI = 0,35.Опять же, для каждого испытания Ye необходимо повторить два предыдущих варианта. Результатом этих трех вариаций является уравнение состояния P = —c/Vv как функция средней плотности ρ. Для каждого значения ρ также получают число нуклонов в ячейке, а также температуру T и концентрацию электронов Ye, характеризующие коллапс.4.3. Результаты для сферической ячейкиВигнера-ЗейцаПредставленные ниже расчеты выполнены с учетом взаимодействия СкирмаSkm). Для данной концентрации лептонов YI изменение Ye во время коллапса остается небольшим. Это можно проверить, оставив Ye постоянным и рассчитав результирующий YI. В первом расчете значение Ye было произвольно зафиксировано на уровне 0,25. Размер ячейки и температура варьируются, чтобы минимизировать большой потенциал + для энтропии на барион: (Sρ,n+ Se)/Ae = 1. Нейтрино не включены.Таблица 3: Температура T (МэВ), давление P (МэВ/фм3), плотность ρ (фм–3), химические потенциалы 𝜇ρ, 𝜇n и 𝜇e(т.е. (МэВ) и число нуклонов Ac вячейке вдоль адиабаты S/A = 1. Взаимодействие — Skm, Г — параметр плазмы, YI — концентрация лептонов (Ye фиксировано равным 0,25), – показатель адиабаты.ТPρАеГS/АYi𝜇ρ𝜇n𝜇e3,800,13570,02300139,30,99920,296-29,38-1,02102,231,3164.350,23090,03400225,01,00120,298-31,61-0,78117.011.3064,750,33560,04500329,01,00110,299-33,62-0,55128,771.2995.060,44820,05600450,81,00090,300-35,46-0,35138,801,2865.340,56550,06900892,21,00070,301-37.02-0,20147,321.2605.530,68510,0710001081,01,00020,301-38,81-0,12154,481.230В табл. 3 суммированы основные результаты вдоль адиабаты S/A = 1. Концентрация YI остается практически постоянной, что оправдывает аппроксимацию постоянной Ye. Параметр плазмы Г всегда достаточно мал, чтобы гарантировать, что ядро ​​звезды является твердым при всех рассматриваемых плотностях. Рассчитанная энтропия на барион равна от 1 до лучше 10–3.Приближение ультрарелятивистского электронного газа очень хорошее, поскольку 𝜇e всегда больше 100 МэВ. Показатель адиабатыуказан в последнем столбце таблицы 3.Ее среднее значение равно 1,29, что чуть меньше 4/3, что гарантирует, что коллапс не остановится при плотностях вплоть до наибольшей, для которой производится этот расчет: ρ = 0,07 Фм–3.Эти результаты проиллюстрированы далее. Для значений ρ, перечисленных в таблице 3, рассчитаны плотности нейтронов и протонов вдоль линии, соединяющей центры двух соседних ядер в кристалле. Вплоть до наибольшей плотности большинство нуклонов связаны в ядрах. Следовательно, ожидается, что давление будет исходить в основном от электронов и изменяться как ρ–4/3.Между максимальной плотностью 0,07 и бесконечной плотностью ядерной материи кристалл раствора ядер перестает быть стабильным и наблюдается переход к раствору, в котором протоны вытесняются в межузельное пространство за счет кулоновского отталкивания.Из-за нуклон-нуклонной силы нейтроны следуют за нейтронами, и окончательное решение соответствует кристаллу с пузырьками с низкой плотностью барионов в местах, ранее занятых ядрами, и связанной ванной однородного вещества, заполняющей межузельное пространство. При высокой плотности распределение вещества вблизи поверхности клетки перестает быть постоянным: приближение к сферической ячейке становится весьма сомнительным.Для приведенного выше расчета (Ye = 0,25) концентрация лептонов составляет около 0,30.Исследование этого уравнения состояния было повторено с учетом вклада нейтрино, варьируя Ye до Ye = 0,35). Также проанализирован вклад пузырьковой и однородной фаз вещества. Для пузырьковой фазы приближение сферической ячейки Вигнера-Зейтца не совсем оправдано: распределение вещества напоминает тонкий слой, наклеенный на поверхность ячейки. Тем не менее, можно сравнить эти разные решения и выяснить, какое из них наиболее стабильное. Для этой цели подходящими переменными являются энтропия S, давление P и число частиц N. Согласно обсуждению раздела 1.5, соответствующим термодинамическим потенциалом является энтальпия. Она получается из внутренней энергии, зависящей от 5, V и N, путем преобразования Лежандра: H(S,P,N) = U + PV). Рассчитана зависимость энтальпии на барион от давления. Однородная фаза имеет большую энтальпию для всех плотностей, поэтому она всегда менее связана. При плотности порядка 0,05 нуклонов/фм3 фаза ядра становится менее связанной, чем фаза пузырька.Это лишь указание на возможный фазовый переход: приближение сферической ячейки становится все менее оправданным по мере увеличения плотности.4.4. Приближение Томаса-ФермивтрехмерныхизмеренияхЧтобы дополнительно подтвердить этот фазовый переход ядро-пузырь, расчет необходимо повторить в более реалистичной модели с тремя пространственными измерениями.К сожалению, точное решение уравнений Хартри-Фока в многогранной ячейке в настоящее время недостижимо для самого мощного компьютера. Чтобы избежать этой численной трудности, было предложено решать эти уравнения приближенным способом, используя приближение Томаса-Ферми). Известно, что это приближение слишком грубо для правильного объяснения основных свойств стабильных ядер. Его можно улучшить, чтобы учесть оболочечные эффекты, включив члены более высокого порядка в разложение по ħ, из которого выведено приближение Томаса-Ферми). Однако при температурах, встречающихсявнутри сверхновой эти оболочечные эффекты больше не присутствуют, и вполне достаточно обычного приближения Томаса-Ферми. Расчеты выполнены с использованием этого приближения низшего порядка). Согласие с расчетами Хартри-Фока превосходное, что позволяет оценить обоснованность расчета Томаса-Ферми в этом контексте. Этот результат очень плодотворен: в то время как функционал Хартри-Фока зависит от большого числа одночастичных волновых функций, приближение Томаса-Ферми использует только плотности нейтронов и протонов и их градиенты для расчета энергии и энтропии.Становится возможным изучать не только ячейки с более сложной геометрией, но и различные виды кристаллической структуры. Помимо рассмотренных нами трехмерных периодических структур, а именно ядерных или пузырьковых кристаллов, можно исследовать возможность существования двумерных структур). В этих более экзотических фазах нуклоны располагаются в виде кристаллов в виде стержней или трубок, а также в виде пластинок материи. Расчеты Томаса-Ферми для симметричной ядерной материи (N = Z) при нулевой температуре показали, что микроскопическое исследование этих конфигураций возможно.Были изучены разные геометрии: • ядра или пузырьковые кристаллы с кубическим центром или кубическим гранецентрированным. Тогда элементарная ячейка представляет собой куб.• двумерная конфигурация: цилиндрические стержни с высокой ядерной плотностью или почти однородная среда с трубчатыми областями низкой плотности. В обоих случаях ячейка имеет призматическую форму, соответствующую двумерному плотноупакованному гексагональному кристаллу.Это реализуется путем установления отношения между двумя размерами ячейки в плоскости кристалла. Третье измерение не имеет значения.• одномерная конфигурация: нуклоны распределены в пластинах материи, расположенных в параллельных плоскостях, ячейка определяется единственным расстоянием между пластинами.При заданной средней плотности ρ несколько фаз могут сосуществовать. Они появляются как локальные или абсолютные минимумы вариационной задачи. Не существует систематического метода, позволяющего получить все эти возможные минимумы, а также быть уверенным, что один из них является абсолютным. Разрешение нелинейных уравнений с помощью итерационного алгоритма дает минимум, близкий к пробной конфигурации.Необходимо попробовать несколько начальных конфигураций, чтобы изучить как можно больше решений. С другой стороны, каждое решение можно изучать как функцию средней плотности p, даже когда оно становится метастабильным. Таким образом, для одной и той же кубической ячейки и одной и той же заданной плотности ρ можно построить либо кубоцентрированный, либо кубический гранецентрированный кристалл, выбрав подходящую геометрию в начальной точке итерационного расчета для областей низких и высоких плотность в пространстве.Среди возможных решений оптимальное решение будет определяться нединамическими соображениями. Самый стабильный имеет самую низкую энтальпию (см. раздел 4.3).Рассчитана зависимость энтальпии различных фаз от давления вдоль адиабаты S/A = 1. При фиксированномYe, равном 0,285, концентрация лептонов удивительно постоянна и составляет 0,35. В диапазоне изученных давлений энтальпия изменяется более чем на 50 МэВ, а различия между фазами редко превышают 0,2 МэВ. Чтобы сделать более очевидными возможные фазовые переходы, рассчитанаразница энтальпии AfT(P) со средней энтальпией Н(P):H = 49,7 + 13,68 log P + (log P)2+ 0,09 (log P)3.При самом низком давлении наиболее стабильной конфигурацией является кристалл ядер, погруженный в нейтронный газ. Кривая соответствует кубоцентрированному раствору, кубический гранецентрированный кристалл имеет почти такую ​​же энтальпию и не отличается от другого. С увеличением давления наблюдается последовательность фаз, предсказанная Рэйвенхоллом: стержни ядерной материи, плиты, полые трубки, фаза пузырьков, которую мы обнаружили в предыдущем разделе, и, наконец, бесконечная ядерная материя.Помимо этих растворов существует еще одна фаза, называемая смешанной фазой, которая остается метастабильной при любом давлении. Он состоит из кристалла ядер, соединенных мостиками материи между ближайшими соседями, так что области как низкой, так и высокой плотности связаны. При низком давлении переход к кристаллу ядер достигается за счет разрыва мостиков вещества, тогда как при высоком давлении оно становится пузырьковым кристаллом, заполняя туннели низкой плотности до тех пор, пока пузырьки не изолируются друг от друга.При низком давлении фаза стержня становится метастабильной, в конечном итоге каждый стержень разрушается в результате ряда ядер, расположенных от одного стержня к другому, с образованием ядра кристалла. При высоком давлении происходит обратное: трубчатая фаза превращается в пузырьковый кристалл.В области, где бесконечная фаза ядерного вещества не является самой стабильной, показатель адиабаты всегда остается близким к критическому значению 4/3. Выше перехода к ядерной материи оно достигает 1,9, что из-за ядерных взаимодействий превышает значение, соответствующее свободному нуклонному газу (5/3). Рассчитанаэволюция с давлением.Наблюдаемые на каждом промежуточном переходе разрывы, а также тот факт, что иногда немного превышает 4/3, могут замедлить коллапс ядра, по крайней мере, на начальном этапе. Динамические последствия такого уравнения состояния еще предстоит изучить.Следует также помнить, что эти результаты получены в приближении среднего поля, не учитывающем влияние тепловых флуктуаций. Ввиду небольших различий в энергии между фазами эти флуктуации вполне могут сгладить разрывы и разрушить дальние корреляции). В таком случае для развития коллапса будет иметь значение только среднее поведение .ЗаключениеНаконец, повторим некоторые теоретические ограничения приведенных выше расчетов.1) Все расчеты выполнены для сферических ядер. Деформация может играть важную роль, особенно при более низкой температуре. Его обязательно следует включить, если вас интересует влияние температуры на барьеры деления).2) Угловой момент также не учитывался, и известно, что ядра, образующиеся в реакциях тяжелых ионов, действительно несут большой угловой момент.3) Доступные эффективные взаимодействия обычно определяются так, чтобы воспроизвести ядерные свойства при нулевой температуре. На данный момент нет никаких указаний на то, что их использование допустимо при температуре, отличной от нуля. Зависимость среднего поля от температуры из-за ее нелинейности может оказаться недостаточной. Однако также нет убедительных доказательств того, что использование этих сил является незаконным).Список использованной литературыЛандау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Том I. Статистическая физика. –М.: Наука, 1989.Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Том III. Квантоваямеханика. – М.: Наука, 1989.Блум К. Теория матрицы плотности и ее приложения. – М.: Мир, 1983.Сликтер Ч. Основы теории магнитного резонанса. – М.: Мир, 1981.Кондратьев В. Н., Никитин Е. Е. Кинетика и механизмы газофазныхреакций. – М.: Наука. 1975.Кондратьев В. Н., Никитин Е. Е., Резников А. И. и др. Термическиебимолекулярные реакции в газах. – М.: Наука, 1976.Овчинников А. А., Тимашев С. Ф., Белый А. А. Кинетикадиффузионно-контролируемых химических процессов. – М.: Химия, 1986.Туницкий Н. Н. Диффузия и случайные процессы. – М.: Наука, 1970.Nitzan A. Chemical Dynamics in Condensed Matter. – Оксфорд: OxfordUniversity Press, 2006.Rice S. A. Сериякниг «Comprehensive Chemical Kinetics», т. 25«Diffusion-Limited Reactions». – Амстердам: Elsevier, 1985.Гленсдорф П., Пригожин И. Термодинамическая теория структуры,устойчивости и флуктуаций. – М: Мир, 1973.Salikhov K. M., Molin Y. N., Sagdeev R. Z., Buchachenko A. L. SpinPolarization and Magnetic Effects in Chemical Reactions. – Амстердам:Elsevier, 1984.Teraoka I. Polymer Solutions: An Introduction to Physical Properties. –Нью-Йорк: John Wiley & Sons, 2002.D.G. Ravenhall, C.J. Pethick and J.M. Lattimer, Nucl. Phys. A407 (1983) 571A.L. Goodman, J.I. Kapusta and A.Z. Mekjian, Phys. Rev. C30 (1984) 851.P. Bonche and D. Vautherin, Nucl. Phys. A372 (1981) 496....