1. примеры экономических задач, решение которых сводится к математической задаче нахождения неотрицательных решений систем линейных алгебраических уравнений или неравенств 2. матричные и графические методы решения систем линейных уравнений

Линией уровня называется прямая, на которой целевая функция задачи принимает постоянное значение. Все линии уровня параллельны между собой, их нормаль ( в нашем примере ). Опорной прямой называется линия уровня, которая имеет хотя бы одну общую точку с область допустимых решений и по отношению к которой эта область находится в одной из полуплоскостей. Линию уровня нужно перемещать до опорной прямой в задаче на максимум в направлении нормали, в задаче на минимум – в противоположном направлении.
Таким образом, с геометрической точки зрения задача максимизации сводится к определению такой точки области D, через которую проходит линия уровня, соответствующая наибольшему из возможных значений. Последнее означает, что для нахождения точки экстремума в задаче линейного программирования мы должны сначала построить линию уровня для некоторого произвольного значения целевой функции. Затем необходимо осуществлять ее параллельное передвижение (так, чтобы она оставалась перпендикулярной вектору с) до тех пор, пока не достигнем такой точки области допустимых планов D, из которой смещение в направлении вектора с было бы невозможно.

















Рис. 2.1

На рис. 2.1 изображен некоторый частный случай, для которого решение ЗЛП достигается в угловой точке х* =(0, 6) области D. Нетрудно представить, что возможны и другие варианты. Они изображены на рис. 2.2.
Рисунок (а) иллюстрирует ситуацию неограниченности целевой функции f(x) = cx на множестве D, т. е. сколько бы мы ни перемещались по линиям уровня в направлении вектора с, ее значение будет возрастать.
В случае, изображенном на рисунке (b), линия уровня, соответствующая максимальному значению f(x), касается грани множества D, и, соответственно, все точки, лежащие на этой грани, являются оптимальными планами.
Во всех рассмотренных иллюстрациях допустимые планы ЗЛП представлялись в виде некоторого многогранного выпуклого множества на плоскости. Такое их представление в литературе получило название первой геометрической интерпретации задачи линейного программирования.







Рис. 2.2
Заметим также, что аналогичным образом могут быть построены интерпретации ЗЛП для случая трехмерного пространства R3, где множеству D будет соответствовать некоторый ограниченный или неограниченный многогранник, а поведение целевой функции будет характеризоваться поверхностями (плоскостями) уровня.
Несмотря на свою очевидную ограниченность, графический метод решения ЗЛП часто оказывается полезным. В частности, он может быть применен не только к задачам с двумя переменными и ограничениями в виде неравенств, но и к каноническим задачам вида:

при ограничениях (условиях):


у которых п - т = 2, где п — количество переменных, a m — ранг матрицы А.
Действительно, можно выбрать две произвольные переменные , и, используя систему уравнений, выразить через них остальные переменные где — линейные функции.
Подставив выражения в целевую функцию, мы получим эквивалентную задачу

при ограничениях
,
которая также может быть решена графически.




















Литература:

Данко П.Е. Попов А.Г., Кожевникова Т.Я.. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть 1.М.: ОНИКС 21 век Мир и Образование,2003
Конюховский П. В. Математические методы исследования операций в экономике—СПб: Питер, 2000.
Сборник задач по высшей математике для экономистов. Уч. пособие/Под ред. В.И.Ермакова –М.:ИНФРА-М, 2004
Экономико-математические методы и прикладные модели. /Под. ред. Федосеева В.В.,М.:ЮНИТИ, 2002

Экономико-математические методы и прикладные модели. /Под. ред. В.В. Федосеева,М.:ЮНИТИ, 2002 – с.25
Экономико-математические методы и прикладные модели. /Под. ред. В.В. Федосеева,М.:ЮНИТИ, 2002 – с.238

Сборник задач по высшей математике для экономистов. Уч. пособие/Под ред. В.И.Ермакова –М.:ИНФРА-М, 2004 –с.61

П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть 1.М.: ОНИКС 21 век Мир и Образование,2003 – с.88

Сборник задач по высшей математике для экономистов. Уч. пособие/Под ред. В.И.Ермакова –М.:ИНФРА-М, 2004 –с419

Конюховский П. В. Математические методы исследования операций в экономике—СПб: Питер, 2000. - с.20





3