Численное интегрирование функций
Заказать уникальную курсовую работу- 20 20 страниц
- 5 + 5 источников
- Добавлена 04.06.2008
- Содержание
- Часть работы
- Список литературы
- Вопросы/Ответы
а) Метод Трапеций;
б) Метод Сипсона;
в) Метод Гаусса
Положим
Если α0 и α1 должны удовлетворять уравнению (8),то μ0 и μ1 определяются из равенства
Так как это равенство должно быть справедливо для любых β0 и β1, то необходимо потребовать выполнения двух равенств:
Выполнив интегрирование после преобразований получим
(9)
Аналогично определим значения А0 = А1=1.
Окончательно получим
Это и есть формула численного интегрирования Гаусса для случая двух ординат. Ошибка ограничения равна нулю при интегрировании многочленов до третьего порядка включительно. При интегрировании многочленов высших степеней и прочих функций ошибка ограничения будет равна
Можно вывести гауссовы формулы численного интегрирования более высмких порядков:
Таблицы коэффициентов μi и Аi можно найти например в [3]. Ниже приведем эти коэффициенты до n = 6
Программа вычисления интеграла по методу Гаусса приведена в приложении№3.
Приложение №1
Приложение №2.
Блок-схема программы:
ДА
НЕТ
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В завершении работы, хочется отметить ряд особенностей применения рассмотренных выше методов. Каждый способ приближённого решения определённого интеграла имеет свои преимущества и недостатки, в зависимости от поставленной задачи следует использовать конкретные методы. Если необходимо быстро получить решение, но нет необходимости в большой точности ответа, следует воспользоваться методом трапеций. Если же необходимо получить более точный результат, идеально подходит метод Симпсона.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики.- М.: Наука. 1980.
2. Никольский С.М. квадратурные формулы.- М.: Наука. 1979.
3. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. – М.: Наука. 1987.
4. Волков Е.А. численные методы. – М.: Наука. 1982.
5. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырский П.И. Вычислительные методы. Т.2. – М.: Наука. 1977.
19
M1
M0
X2
Х0
M2
M1
M0
M2
y0
y1
y2
-h
0
h
X1
I=i+1
S=S+(f(a+(2i-2)h) + 4 f(a+(2i-1)h)+ f(a+(2i)h))h/3
Вывод S
i≤m
h=(b-a)/n
S=0, i=1
Ввод a, b, n
S=0, i=1
h=(b-a)/n
S0=(f(a)+f(b))*0.5*h
I
Вывод Sn
S=S+f(a+i*h)*h
Sn=S0+S
i=i+1
Ввод a, b, n=2m
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики.- М.: Наука. 1980.
2. Никольский С.М. квадратурные формулы.- М.: Наука. 1979.
3. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. – М.: Наука. 1987.
4. Волков Е.А. численные методы. – М.: Наука. 1982.
5. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырский П.И. Вычислительные методы. Т.2. – М.: Наука. 1977.
Вопрос-ответ:
Какие методы используются при численном интегрировании функций?
При численном интегрировании функций используются различные методы, такие как метод трапеций, метод Симпсона и метод Гаусса.
Что такое метод трапеций?
Метод трапеций - это один из численных методов интегрирования функций. Он основывается на аппроксимации площади под графиком функции на каждом интервале сегмента интегрирования трапецией и вычислении суммы площадей всех трапеций.
Как работает метод Симпсона?
Метод Симпсона является численным методом интегрирования функций, основанным на аппроксимации площади под графиком функции на каждом интервале сегмента интегрирования параболой. Он представляет собой комбинацию метода трапеций и метода парабол, что позволяет достичь более точного результата.
Как работает метод Гаусса?
Метод Гаусса - это численный метод интегрирования функций, основанный на аппроксимации площади под графиком функции с помощью некоторого набора точек, называемого узлами Гаусса. В этом методе используется формула численного интегрирования Гаусса, которая позволяет получить более точный результат, особенно при интегрировании функций с высоким степенным полиномиальным аппроксимаций.
Как рассчитать значения A0 и A1 в методе Гаусса?
Значения A0 и A1 в методе Гаусса рассчитываются согласно формуле, где 0 и 1 должны удовлетворять определенному уравнению. Равенства, в которых участвуют 0 и 1, предъявляются для выполнения с любыми значениями 0 и 1, поэтому для определения значений A0 и A1 необходимо потребовать выполнения этих двух равенств.
Что такое численное интегрирование функций?
Численное интегрирование функций - это метод приближенного вычисления значения определенного интеграла функции на заданном интервале. Он позволяет аппроксимировать значение интеграла численно с заданной точностью.
Какой метод используется для численного интегрирования функций?
Для численного интегрирования функций можно использовать различные методы. В данной статье рассматриваются методы трапеций, Симпсона и Гаусса. Эти методы основаны на аппроксимации подынтегральной функции и вычислении значения интеграла с использованием определенных формул.
Как работает метод Гаусса для численного интегрирования функций?
Метод Гаусса основан на использовании специальных точек и весовых коэффициентов, которые выбираются таким образом, чтобы достичь максимальной точности приближенного вычисления интеграла. Для этого мы решаем систему уравнений, чтобы найти значения этих точек и коэффициентов. После этого мы можем применить формулу численного интегрирования Гаусса для вычисления значения интеграла с заданной точностью.