Формула разности арифметической прогрессии
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Арифметическая прогрессия представляет собой последовательность чисел, каждая из которых, начиная со второй, отличается от предыдущей тем же числом d, которое называется разностью прогрессии.
Другими словами, разница в арифметической прогрессии - это разница между следующим и предыдущим членами прогрессии. Если \(\
A=\left\{a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}, \dots\right\}
\) является арифметической прогрессией, а \(\
a_{n}
\) является ее n-м членом, то разность
\(\
d=a_{n+1}-a_{n}
\)
Если разность арифметической прогрессии является положительным числом, то прогрессия будет возрастать, если отрицательно - уменьшаться.
В случае, когда известны первые члены \(\
a_{1}
\) и n-й \(\
a_{n}
\) прогрессии, разность d может быть найдена следующим образом:
\(\
d=\frac{a_{n}-a_{1}}{n-1}
\)
Примеры решения проблем
ПРИМЕР 1
найти разницу арифметической прогрессии, в которой \(\
a_{1}=10, a_{5}=22
\)
Поскольку известны первые и пятые члены арифметической прогрессии, различия соответственно равны
\(\
d=\frac{a_{n}-a_{1}}{n-1}=\frac{a_{5}-a_{1}}{5-1}=\frac{22-10}{4}=3
\)
ПРИМЕР 2
В арифметической прогрессии десятый член равен -30, а двадцатый - (-40). Найдите разницу в прогрессии.
Согласно условию задачи \(\
a_{10}=-30, a_{20}=-40
\) Мы находим их выражения через первый член прогрессии и разности:
\(\
\left\{\begin{array}{l}{a_{1}+9 d=-30} \\ {a_{1}+19 d=-40}\end{array}\right.
\)
Мы решим полученную систему, для чего сначала вычитаем первое уравнение из второго уравнения. В результате мы получим:
\(\
10 \mathrm{d}=-10
\)
Где мы получаем
\(\
d=-1
\)