Формула суммы арифметической прогрессии
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Последовательность чисел вида \(\
\left\{a_{1}, a_{1}+d, a_{1}+2 d, a_{1}+3 d, \ldots\right\}
\) называется арифметической прогрессией с первым членом \(\
a_{1}
\) и разностью d.
Сумма первых n членов арифметической прогрессии может быть вычислена по формуле:
\(\
S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2} \cdot n
\)
Если известен только первый член прогрессии\(\
a_{1}
\) и разность d, то можно использовать другую формулу:
\(\
S_{n}=\frac{2 a_{1}+d(n-1)}{2} \cdot n
\)
Примеры решения проблем
ПРИМЕР 1
Чтобы вычислить сумму первых восьми членов арифметической прогрессии, если \(\
a_{1}=-15, d=4
\)
Если известен первый член арифметической прогрессии и ее разность, то сумма первых n элементов может быть найдена по формуле:
\(\
S_{n}=\frac{2 a_{1}+d(n-1)}{2} \cdot n
\)
Найдите сумму первых восьми членов данной прогрессии.
\(\
S_{8}=\frac{2 \cdot(-15)+4 \cdot(8-1)}{2} \cdot 8=-8
\)
\(\
S_{8}=-8
\)
ПРИМЕР 2
Найдите сумму \(\
1+3+5+\ldots+(2 n-1)
\), компонентами которой являются все нечетные положительные целые числа от 1 до 2n-1
В данной сумме каждый член является членом арифметической прогрессии с \(\
a_{1}=1, a_{n}=2 n-1
\) и разностью \(\
\mathrm{d}=2
\). Найдите сумму этой арифметической прогрессии:
\(\
S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2} \cdot n=\frac{1+2 n-1}{2} \cdot n=n^{2}
\)
\(\
S_{n}=n^{2}
\)