Формула суммы геометрической прогрессии
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Последовательность чисел вида \(\
\left\{b_{1}, b_{1} q, b_{1} q^{2}, b_{1} q^{3}, \ldots\right\}
\) называется геометрической прогрессией с первым членом \(\
b_{1}
\) и разностью q.
Сумма первых n членов геометрической прогрессии может быть вычислена по формуле:
\(\
S_{n}=\frac{b_{1}\left(q^{n}-1\right)}{q-1}
\)
Если геометрическая прогрессия бесконечно уменьшается (знаменатель \(\
|q|<1
\) ), то ее сумма определяется по формуле:
\(\
S=\frac{b_{1}}{1-q}
\)
Примеры решения проблем
ПРИМЕР 1
Чтобы найти сумму первых шести членов геометрической прогрессии, которая имеет \(\
b_{1}=8, q=0,5
\)
Рассчитайте сумму первых шести членов геометрической прогрессии, подставив заданные значения в формулу суммы:
\(\
S_{6}=\frac{8 \cdot\left((0,5)^{6}-1\right)}{0,5-1}=15,75
\)
\(\
S_{6}=15,75
\)
ПРИМЕР 2
Найдите сумму геометрической прогрессии
\(\
\frac{1}{2},-\frac{1}{4}, \frac{1}{8},-\frac{1}{16}, \ldots
\)
Первая прогрессия участника \(\
b_{1}=\frac{1}{2}
\) .Найдите знаменатель этой прогрессии, разделив любой из ее членов на предыдущий:
\(\
q=\frac{b_{2}}{b_{1}}=\left(-\frac{1}{4}\right) :\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{2}
\)
Поскольку \(\
|q|=\frac{1}{2}<1
\) , то данная прогрессия является бесконечно убывающей геометрической прогрессией, а затем ее сумма
\(\
S=\frac{\frac{1}{2}}{1-\left(-\frac{1}{2}\right)}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}}=\frac{1}{3}
\)
\(\
S=\frac{1}{3}
\)