Катет прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике $\mathrm{ABC}$ гипотенуза $\mathrm{BC}=10\mathrm{с}\mathrm{м}$, а катет $\mathrm{AB}$ на 2 см больше катета $\mathrm{AC}$. Найти неизвестные стороны треугольника.

Пусть длина катета $\mathrm{AC}$ равна $\mathrm{x}$ см, тогда длина катета $\mathrm{AB}$ равна $(\mathrm{x}+2)\mathrm{с}\mathrm{м}$. Воспользуемся теоремой Пифагора для нахождения неизвестных сторон:

$A{C}^2+A{B}^2=B{C}^2$

$x^2+(x+2{)}^2={10}^2$

$2x^2+4x-96=0$

откуда $x_1=-8$ и $x_2=6$ По условию задачи подходит только второе значение. Получаем, что $\mathrm{AC}=6\mathrm{с}\mathrm{м}$, а $\mathrm{AB}=6+2=8\mathrm{с}\mathrm{м}$.

$\mathrm{AC}=6\mathrm{с}\mathrm{м}$, $\mathrm{AB}=8см$

ПРИМЕР 2

В треугольнике $\mathrm{ABC}$ с $\mathrm{\angle }A={90}^{\circ },AB=4$ см и $\mathrm{BC}=8\mathrm{с}\mathrm{м}$ найти величину угла $\mathrm{B}$.

Треугольник $\mathrm{ABC}$ – прямоугольный, поскольку $\mathrm{\angle }A={90}^{\circ }$ Сторона $\mathrm{AB}$ – катет, сторона $\mathrm{BC}$ – гипотенуза. Как видно из условия, катет $\mathrm{AB}$ равен половине гипотенузы, а значит, он лежит против угла ${30}^{\circ }$ т.е. $\mathrm{\angle }C={30}^{\circ }$ Тогда по теореме о сумме углов треугольника имеем, что

$\mathrm{\angle }B={180}^{\circ }-{90}^{\circ }-{30}^{\circ }={60}^{\circ }$

$\mathrm{\angle }B={60}^{\circ }$