Метод интервалов решения неравенств

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Метод интервалов — это удобный и эффективный метод решения неравенств вида $f (x) > 0$ , где $f (x)$ — рациональная функция (вместо знака «>» может стоять любой из знаков $<, \leq, \geq$

Метод интервалов применяют при решении линейных, квадратных и дробно-рациональных неравенств.

Алгоритм метода интервалов

Метод интервалов решения неравенств основан на следующем алгоритме:

Решаем уравнение $f (x) = 0$ и находим нули функции (если $f (x)$ — дробно-рациональная, то находим нули числителя и нули знаменателя).

Отмечаем полученные значения на числовой оси нули. Нули знаменателя всегда выколотые точки, нули числителя выколотые, если неравенство строгое; закрашенные, если неравенство нестрогое.

Полученные точки разбивают числовую ось на интервалы. В каждом интервале определяем знак функции $f (x)$ .

Если при переходе через закрашенную точку знак не меняется, то эта точка (если она не находится внутри промежутка решения) является изолированной точкой-решением.

Примеры решения неравенств методом интервалов

ПРИМЕР 1

Задание

Решить неравенство $(x - 5) (x^{2} - 4 x + 4) \geq 0$

Решение

Сначала решим уравнение $(x - 5) (x^{2} - 4 x + 4) = 0$ . Корнями этого уравнения будут точки $x_{1} = 5$ , $x_{2} = x_{3} = 2$ , а заданное неравенство можно записать в виде $(x - 5) (x - 2)^{2} \geq 0$ . Отмечаем точки на числовой оси. Поскольку неравенство нестрогое, то точки закрашенные. Определяем знак левой части неравенства на каждом промежутке. Для этого выбираем какое-либо значение, принадлежащее рассматриваемому интервалу, и подставляем его в левую часть неравенства вместо x.

Чтобы записать ответ, выбираем промежуток со знаком «+», а также не забываем точку 2, которая включается в решение (соответствующая ей точка закрашена), т.е. искомое решение $x \in [5, + \infty) \cup {2}$

Ответ

$x \in [5, + \infty) \cup {2}$

ПРИМЕР 2

Задание

Решить неравенство

$\frac{x^{2} - 2 x - 8}{2 x^{2} + 3 x + 1} > 0$

Решение

Найдем нули числителя и знаменателя:

$x^{2} - 2 x - 8 = 0 \Rightarrow x_{1} = 4, x_{2} = - 2$

$2 x^{2} + 3 x + 1 = 0 \Rightarrow x_{3} = - 1, x_{2} = - 0, 5$

Отметим точки на числовой оси и определим знаки неравенства на каждом из промежутков

Выбираем промежутки, на которых дробь положительна (то есть промежутки, помеченные знаком «+»), тогда $x \in (- \infty; - 2) \cup (- 1; - 0, 5) \cup (4, + \infty)$