Неравенства с модулем и их решение

Формулы определения и неравенства с модулем

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Модуль числа а равен числу а, если число положительное и -а, если оно отрицательно.

Мы можем написать следующее:

$| a | = {\begin{cases} a, a > 0 \\ 0, a = 0 \\ - a, a < 0 \end{cases}$

Модуль а - это расстояние от нуля до заданного числа.

Если под модулем существует функция $f (x)$ , то $| f (x) | = {\begin{cases} f (x), f (x) > 0 \\ 0, f (x) = 0 \\ - f (x), f (x) < 0 \end{cases}$

1. Неравенство вида $| f (x) | < a$ эквивалентно системе неравенств ${\begin{cases} f (x) > - a \\ f (x) < a \end{cases}$ при условии, что $a > 0$ ; когда $a \leq 0$ , нет решений.

2. Неравенство вида $| f (x) | > a$ эквивалентно множеству неравенств $[\begin{array}{l} f (x) > a \\ f (x) < - a \end{array}$ при условии, что $a > 0$ . Если $a \leq 0$ , то неравенство выполняется для всех допустимых значений x.

3. Неравенство $| f (x) | < g (x)$ эквивалентно двойному неравенству $- g (x) 4$ .

4. Неравенство $| f (x) | > g (x)$ эквивалентно множеству неравенств $[\begin{array}{l} f (x) > g (x) \\ f (x) < - g (x) \end{array}$

5. Неравенство вида $| f (x) | < | g (x) |$ выполняется тогда и только тогда, когда $(f (x) + g (x)) (f (x) - g (x)) < 0$

Примеры решения неравенств с модулем

ПРИМЕР 1

Задача

решить неравенство $| x^{2} - 3 x | < 4$

Решение.

Рассмотрим два случая, когда выражение в модуле больше или равно нулю и меньше нуля.

1 случай. Если $x^{2} - 3 x \geq 0$ , то данное неравенство эквивалентно системе ${\begin{cases} x^{2} - 3 x \geq 0 \\ x^{2} - 3 x < 4 \end{cases}$ или ${\begin{cases} x (x - 3) \geq 0 \\ (x - 4) (x + 1) < 0 \end{cases}$

Решая первое неравенство системы методом интервалов, получим

те. $x \in (- \infty; 0] \cup [3; + \infty)$

Второе неравенство также решается методом интервалов

и $x \in (- 1; 4)$

Поскольку мы решаем систему неравенств, ее решение будет пересечением найденных решений, т. Е. $(- 1; 0] \cup [3; 4)$

2 случай. Если $x^{2} - 3 x < 0$ , то данное неравенство эквивалентно системе ${\begin{cases} x^{2} - 3 x < 0 \\ - (x^{2} - 3 x) < 4 \end{cases}$ или ${\begin{cases} x (x - 3) ⟨ 0 \\ x^{2} - 3 x + 4 ⟩ 0 \end{cases}$

Решая первое неравенство системы методом интервалов, получим

те. $x \in (0; 3)$

Второе неравенство будет справедливо для всех вещественных значений $x$ , так как уравнение $x^{2} - 3 x + 4 = 0$ имеет отрицательный дискриминант $D = 9 - 16 = - 7 < 0$ .

Тогда решением системы является интервал $(0; 3)$

Решением исходного неравенства будет объединение решений двух случаев, т. Е. $(- 1; 0] \cup [3; 4) \cup (0; 3) = (- 1; 4)$

Ответ

$x \in (- 1; 4)$

ПРИМЕР 2

Задача

решить неравенство $| x - 3 | - | x + 5 | < 4$

Решение.

Нулями субмодулярных выражений являются значения 3 и -5, которые делят числовую ось на три интервала.

Если $x \in (- \infty; - 5]$ , то данное неравенство принимает вид:

$- (x - 3) + (x + 5) < 4 \Rightarrow 8 < 4$

В этом случае решений нет, так как они получили неправильное неравенство, т. Е. $x \in \emptyset$

Если $x \in (- 5; 3]$ , то

$- (x - 3) - (x + 5) < 4 \Rightarrow - 2 x < 6 \Rightarrow x > - 3 \Rightarrow x \in (- 3; + \infty)$

Пересечение интервала, в котором рассматривается данное неравенство, и полученный интервал будет $(- 3; 3]$ .

Если $x \in (3; + \infty)$ , то

$x - 3 - x - 5 < 4 \Rightarrow - 8 < 4$

Поскольку в результате преобразований мы получили правильное неравенство, решение будет любым вещественным значением переменной: $x \in (- \infty; + \infty)$ . Мы пересекаемся с интервалом, на котором мы рассматриваем, и в результате получаем, что $x \in (3; + \infty)$