Узнать цену работы

Статьи по теме

Определитель, детерминант матрицы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Определителем или определителем квадратной матрицы $A = {‖ a_{i j} ‖}_{n \times n}$ является число, присвоенное этой матрице.

Определитель матрицы $A$ обозначается вертикальными полосами $| A |$ или греческой буквой $Δ$ или $\det A$ .

Способы вычисления определителя матрицы

Определителем матрицы второго порядка является число, равное

$| \begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} | = a_{11} \cdot a_{22} - a_{21} \cdot a_{12}$

ПРИМЕР 1

Задача

Вычислить определитель второго порядка

$Δ = | \begin{array}{cc} 1 & - 1 \\ 2 & 3 \end{array} |$

Решение

По определению определитель второго порядка

$Δ = | \begin{array}{cc} 1 & - 1 \\ 2 & 3 \end{array} | = 1 \cdot 3 - 2 \cdot (- 1) = 3 + 2 = 5$

Ответ

$Δ = 5$

Определитель матрицы третьего порядка

Определитель матрицы третьего порядка может быть вычислен с использованием правила треугольника или правила Сарруса.

Правило треугольника. Определитель матрицы третьего порядка можно вычислить по формуле

$| \begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} | = a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33} + a_{31} \cdot a_{12} \cdot a_{23} + a_{21} \cdot a_{13} \cdot a_{32} - a_{31} \cdot a_{22} \cdot a_{13} - a_{21} \cdot a_{12} \cdot a_{33} - a_{11} \cdot a_{23} \cdot a_{32}$

Это правило можно схематически изобразить следующим образом.

ПРИМЕР 2

Задача

Вычислить определитель третьего порядка по правилу треугольника

$Δ = | \begin{array}{ccc} 1 & 2 & - 4 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & - 1 & 2 \end{array} |$

Решение

Согласно правилу треугольника определитель третьего порядка равен

$Δ = | \begin{array}{ccc} 1 & 2 & - 4 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & - 1 & 2 \end{array} | = 1.3 \cdot 2 + 3 \cdot 2 \cdot 1 + 2 \cdot (- 4) \cdot (- 1) - 3 \cdot 3 \cdot (- 4) - 2 \cdot 2 \cdot 2 - 1 \cdot 1 \cdot (- 1) = 49$

Ответ

$Δ = 49$

Правило Сарруса. Чтобы вычислить детерминант третьего порядка, мы добавим первые два столбца и умножим диагональные элементы, взяв произведение со знаком плюс, если диагональ является главной или параллельной ему и взяв произведение с знаком минус, если диагональ равна стороны или параллели, мы получаем

ПРИМЕР 3

Задача

Вычислить определитель третьего порядка из примера 2 в соответствии с правилом Сарруса

$Δ = | \begin{array}{ccc} 1 & 2 & - 4 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & - 1 & 2 \end{array} |$

Решение.

Согласно правилу Сарруса, необходимо написать первые два столбца этого определителя справа от вычисленного определителя и умножить диагональные элементы. Взяв эти произведения с соответствующими знаками, получим, что искомый определитель третьего порядка

$Δ = \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & - 4 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & - 1 & 2 & 3 & - 1 \end{array} = 1 \cdot 3 \cdot 2 + 2 \cdot 1 \cdot 3 + (- 4) \cdot 2 \cdot (- 1) - 3 \cdot 3 \cdot (- 4) - (- 1) \cdot 1 \cdot 1 - 2 \cdot 2 \cdot 2 = 49$

Ответ

$Δ = 49$

Вычисление детерминантов более высокого порядка

Для расчета детерминантов высших порядков используется метод разложения определителя в строке или столбце. Это позволяет нам представить детерминант квадратной матрицы как сумму произведений элементов любой из ее строк или столбцов для их алгебраических дополнений. В этом случае вычисление детерминанта n-го порядка сводится к вычислению детерминантов n-1-го порядка.

Теорема

Теорема о разложении определителя на элементы строки. Детерминант матрицы $A$ равен сумме произведений элементов строки и их алгебраических дополнений.

$\det A = a_{i 1} A_{i 1} + a_{i 2} A_{i 2} + \dots + a_{i n} A_{i n}$

Теорема

Теорема о разложении определителя на элементы столбца. Определитель матрицы $A$ равен сумме произведений элементов столбца и их алгебраических дополнений.

$\det A = a_{1 j} A_{1 j} + a_{2 j} A_{2 j} + \dots + a_{n j} A_{n j}$

ПРИМЕР 4

Задача

Вычислить определитель 4-го порядка двумя способами:

а) выкладка на 1-й линии;

б) расширение на 1-й столбец

$Δ = | \begin{array}{cccc} 2 & 1 & 0 & 2 \\ 3 & 2 & 1 & 0 \\ - 1 & 0 & 1 & 3 \\ - 1 & 2 & 1 & 3 \end{array} |$

Решение

а) По теореме о разложении определителя на элементы строки этот определитель разбивается на первую строку следующим образом

$Δ = a_{11} A_{11} + a_{12} A_{12} + a_{13} A_{13} + a_{14} A_{14}$

С учетом формулы для вычисления алгебраических дополнений $A_{i j} = (- 1)^{i + j} M_{i j}$ Здесь $M_{i j}$ является минором элемента $a_{i j}$ , равным определителю, полученному из данного определителя, путем пересечения i-й строки и j-го столбца. затем

$Δ = 2 \cdot (- 1)^{1 + 1} | \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{array} | + 1 \cdot (- 1)^{1 + 2} | \begin{array}{ccc} 3 & 1 & 0 \\ - 1 & 1 & 3 \\ - 1 & 1 & 3 \end{array} | + 0 \cdot (- 1)^{1 + 3} | \begin{array}{ccc} 3 & 2 & 0 \\ - 1 & 0 & 3 \\ - 1 & 2 & 3 \end{array} | + 2 \cdot (- 1)^{1 + 4} | \begin{array}{ccc} 3 & 2 & 1 \\ - 1 & 0 & 1 \\ - 1 & 2 & 1 \end{array} | = 2 \cdot | \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{array} | - | \begin{array}{ccc} 3 & 1 & 0 \\ - 1 & 1 & 3 \\ - 1 & 1 & 3 \end{array} | - 2 \cdot | \begin{array}{ccc} 3 & 2 & 1 \\ - 1 & 0 & 1 \\ - 1 & 2 & 1 \end{array} |$

Полученные детерминанты третьего порядка вычислимы по правилу треугольника $Δ = 2 \cdot | \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{array} | - | \begin{array}{ccc} 3 & 1 & 0 \\ - 1 & 1 & 3 \\ - 1 & 1 & 3 \end{array} | - 2 \cdot | \begin{array}{ccc} 3 & 2 & 1 \\ - 1 & 0 & 1 \\ - 1 & 2 & 1 \end{array} | = 2 (6 + 6 + 0 - 0 - 0 - 6) - (9 - 3 + 0 - 0 + 3 - 9) - 2 (0 - 2 - 2 - 0 + 2 - 6) =$

б) По теореме о разложении определителя на элементы столбца этот определитель разбивается на первый столбец следующим образом

$Δ = a_{11} A_{11} + a_{21} A_{21} + a_{31} A_{31} + a_{41} A_{41} = 2 \cdot (- 1)^{1 + 1} | \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{array} | + 3 \cdot (- 1)^{2 + 1} | \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{array} | + (- 1) \cdot (- 1)^{3 + 1} | \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \end{array} | +$

$+ (- 1) \cdot (- 1)^{4 + 1} | \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \end{array} | = 2 \cdot | \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{array} | - 3 \cdot | \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{array} | - | \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \end{array} | + | \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \end{array} |$

Полученные детерминанты третьего порядка вычислимы по правилу треугольника

$Δ = 2 \cdot | \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{array} | - 3 \cdot | \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{array} | - | \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \end{array} | + | \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \end{array} | = 2 \cdot (6 + 6 + 0 - 0 - 0 - 6) - 3 \cdot (3 + 0 + 0 - 4 - 0 - 3) - (3 + 0 + 4 - 4 - 0 - 0) + (3 + 0 + 4 - 0 - 0 - 0) = 28$

Ответ

$Δ = 28$

Свойства определителя матрицы

Определитель любого порядка может быть вычислен с использованием свойств определителя:

детерминант не изменяется при элементарных преобразованиях строк или столбцов;

при перестановке строк или столбцов знак детерминанта меняется на обратный;

Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов, расположенных на диагонали. Например, для верхней треугольной матрицы

$A = (\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ 0 & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & \dots & a_{n n} \end{array})$

детерминантом является $\det A = a_{11} \cdot a_{22} \cdot \dots \cdot a_{n n}$

ПРИМЕР 5

Задача

Вычислить определитель 4-го порядка, используя свойства определителя

$Δ = | \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ - 2 & 1 & 5 & 6 \\ - 3 & - 5 & 1 & 7 \\ - 4 & - 6 & - 7 & 1 \end{array} |$

Решение.

Приведем этот определитель, используя элементарные преобразования в верхнюю треугольную форму. Для этого добавьте первый, умноженный, соответственно, на 2, 3 и 4 на вторую, третью и четвертую строки.

$Δ = | \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ - 2 & 1 & 5 & 6 \\ - 3 & - 5 & 1 & 7 \\ - 4 & - 6 & - 7 & 1 \end{array} | = | \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 5 & 11 & 14 \\ 0 & 1 & 10 & 19 \\ 0 & 2 & 5 & 17 \end{array} |$

Измените вторую и третью строки в некоторых местах, а знак детерминанта изменится на противоположное

$Δ = | \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 5 & 11 & 14 \\ 0 & 1 & 10 & 19 \\ 0 & 2 & 5 & 17 \end{array} | = - | \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 10 & 19 \\ 0 & 5 & 11 & 14 \\ 0 & 2 & 5 & 17 \end{array} |$

Рядом с третьей строкой добавьте вторую, умноженную на (-5), а на четвертую добавьте вторую, умноженную на (-2). Получите

$Δ = - | \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 10 & 19 \\ 0 & 5 & 11 & 14 \\ 0 & 2 & 5 & 17 \end{array} | = - | \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 10 & 19 \\ 0 & 0 & - 39 & - 81 \\ 0 & 0 & - 15 & - 21 \end{array} |$

Добавьте к последней строке третий, умноженный на $(- 38)$

$Δ = - | \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 10 & 19 \\ 0 & 5 & 11 & 14 \\ 0 & 2 & 5 & 17 \end{array} | = - | \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 10 & 19 \\ 0 & 0 & - 39 & - 81 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{396}{39} \end{array} |$