Признаки подобия треугольников и свойства

В треугольниках $\mathrm{ABC}$ и $A_1{B}_1{C}_1\mathrm{\angle }A=\mathrm{\angle }{A}_1$ каждая из сторон $\mathrm{AB}$ и $\mathrm{AC}$ равна 0,6 сторон $A_1{B}_1$ и $A_1{C}_1$ соответственно. Найдите стороны $\mathrm{BC}$ и $B_1{C}_1$, если их сумма составляет 48 см.

Давайте сделаем рисунок.

Так как в треугольниках $\mathrm{ABC}$ и $A_1{B}_1{C}_1$ две пары соответствующих сторон пропорциональны коэффициенту пропорциональности 0,6, а углы, образованные этими сторонами, равны, эти треугольники схожи. Следовательно, стороны $BC$ и $B_1{C}_1$ также пропорциональны, т. е.

$BC=0,6\cdot B_1{C}_1$

и условием $BC+B_1{C}_1=48$ . Из этих равенств следует, что

$1,6\cdot B_1{C}_1=48$ или $B_1{C}_1=30$ см

Тогда $BC=0,6\cdot 30=18$ см.

$\mathrm{BC}=18\mathrm{cm}$, $B_1{C}_1={30}_{\mathrm{cm}}$

ПРИМЕР 2

В треугольнике $\mathrm{ABC}$ известны стороны $\mathrm{AB}=8\mathrm{с}\mathrm{м}$, $\mathrm{BC}=12\mathrm{с}\mathrm{м}$, $\mathrm{AC}=16\mathrm{с}\mathrm{м}$. На стороне переменного тока точка $\mathrm{D}$ обозначается так, что $\mathrm{CD}=9\mathrm{с}\mathrm{м}$. Найдите $\mathrm{BD}$.

Рассмотрим треугольники $\mathrm{ABC}$ и $\mathrm{BDC}$ с общим углом $\mathrm{C}$. Найдите отношения известных соответствующих сторон:

$\frac{BC}{DC}=\frac{12}{9}=\frac{4}{3},\frac{AC}{BC}=\frac{16}{12}=\frac{4}{3}$

Мы получаем, что две пары соответствующих сторон пропорциональны, что означает, что треугольники $\mathrm{ABC}$ и $\mathrm{BDC}$ похожи. Как следствие,

$\frac{AB}{BD}=\frac{8}{BD}=\frac{4}{3}$

откуда $\mathrm{BD}=6\mathrm{с}\mathrm{м}$.

$\mathrm{BD}=6\mathrm{с}\mathrm{м}$