Производная логарифма по основанию a

Найдите производную функции $y(x)=x{\log }_{3}x$

Требуемое производное $y^{\prime }(x)={(x{\log }_{3}x)}^{\prime }$

Производные продукты мы находим формулу: $(uv{)}^{\prime }=(u{)}^{\prime }\cdot v+u\cdot (v{)}^{\prime }$

Тогда в нашем случае для $u=x,v={\log }_{3}x$ у нас есть: $y^{\prime }(x)=(x{)}^{\prime }\cdot {\log }_{3}x+x\cdot {({\log }_{3}x)}^{\prime }$

Производная независимой переменной $x$ равна единице: $(x{)}^{\prime }=1$

производная от логарифма: ${({\log }_{3}x)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln 3}$

Итак, у нас есть: $y^{\prime }(x)=(x{)}^{\prime }\cdot {\log }_{3}x+x\cdot {({\log }_{3}x)}^{\prime }=1\cdot {\log }_{3}x+x\cdot \frac{1}{x\ln 3}={\log }_{3}x+\frac{1}{\ln 3}$

Ответ $y^{\prime }(x)={\log }_{3}x+\frac{1}{\ln 3}$

ПРИМЕР 2

Найдите производную функции $y(x)=\lg 2x$

Производная этой функции $y^{\prime }(x)=(\lg 2x{)}^{\prime }$

Задан десятичный логарифм, то есть его основание $a=10$ И поскольку аргумент логарифма отличается от просто х, мы также умножаем на производную от аргумента. У меня будет: $y^{\prime }(x)=(\lg 2x{)}^{\prime }=\frac{1}{2x\ln 10}\cdot (2x{)}^{\prime }$

Найти производную от сублогарифмической функции. Константа берется из знака производной: $(2x{)}^{\prime }=2\cdot (x{)}^{\prime }$

Производная независимой переменной x равна единице: $(2x{)}^{\prime }=2\cdot (x{)}^{\prime }=2\cdot 1=2$

Таким образом, мы, наконец, имеем: $y^{\prime }(x)=\frac{1}{2x\ln 10}\cdot (2x{)}^{\prime }=\frac{1}{2x\ln 10}\cdot 2=\frac{1}{x\ln 10}$

Ответ $y^{\prime }(x)=\frac{1}{x\ln 10}$