Сумма тангенсов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Сумма тангенсов двух углов $α$ и $β$ равна отношению синуса суммы $α + β$ к произведению косинусов этих углов:

$tg α + tg β = \frac{\sin (α + β)}{\cos α \cdot \cos β}$

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Проверить, что $tg 15^{\circ} + tg 60^{\circ} = 2$

Доказательство

Применим формулу суммы тангенсов

$tg 15^{\circ} + tg 60^{\circ} = \frac{\sin (15^{\circ} + 60^{\circ})}{\cos 15^{\circ} \cos 60^{\circ}} = \frac{\sin 75^{\circ}}{\cos 15^{\circ} \cos 60^{\circ}}$

Представим $\cos 15^{\circ}$ в $\cos 15^{\circ} = \cos (90^{\circ} - 75^{\circ}) = \sin 75^{\circ}$ и подставим в предыдущее равенство: $\frac{\sin 75^{\circ}}{\cos 15^{\circ} \cos 60^{\circ}} = \frac{\sin 75^{\circ}}{\sin 75^{\circ} \cos 60^{\circ}} = \frac{1}{\cos 60^{\circ}} = 2$

т.е.

$tg 15^{\circ} + tg 60^{\circ} = 2$

Что и требовалось доказать.

ПРИМЕР 2

Задание

Найти значение выражения ${tg}^{3 π} + tg \frac{π}{8}$

Решение

Представим сумму разность в виде

$tg \frac{3 π}{8} + tg \frac{π}{8} = \frac{\sin (\frac{3 π}{8} + \frac{π}{8})}{\cos \frac{3 π}{8} \cdot \cos \frac{π}{8}} = \frac{\sin \frac{π}{2}}{\frac{1}{2} (\cos \frac{π}{4} + \cos \frac{π}{2})} = \frac{1}{\frac{1}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} + 0)} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2 \sqrt{2}$