Тригонометрический круг (окружность)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Тригонометрический круг (круг) - круг радиуса один (единичный круг), центрированный в начале координат (рис. 1).

Для нулевого положения радиуса берется его положение в положительном направлении оси Ox. Угол поворота радиуса измеряется от положительного направления оси Ox: с плюсом - против часовой стрелки, с минусом - по часовой стрелке. Полный круг $360^{\circ}$ .Каждому углу $α$ от $0^{\circ}$ до $360^{\circ}$ соответствует точка М на единичном круге.

Синус угла $α$ является ординатой точки $M$ , а косинус угла $α$ является абсциссой точки $M$ . Рис.1

Примеры решения проблем

ПРИМЕР 1

Задача

Используя единичный круг, определите синус и косинус угла

Решение

Отложим угол, равный $\frac{π}{6}$ на единичном круге (рис.1); он будет соответствовать точке $A$ круга. Найдите синус заданного угла. Чтобы сделать это, найдите проекцию точки $A$ на ось $Oy$ , она будет точкой $\frac{π}{6}$ , поэтому ордината точки $A$ равна $B (0; \frac{1}{2})$ , а значение $\frac{1}{2}$

Чтобы найти косинус заданного угла, найдем проекцию точки $A$ на ось $O x$ . Это будет точка $\sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}$ , то точка абсциссы $A$ равна $C (\frac{\sqrt{3}}{2}; 0)$ и, соответственно, $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ

\cos \frac{π}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}

Угловые единицы

Углы обычно измеряются в градусах или радиан. Для преобразования градусов в радианы просто: 360 градусов (полный круг) соответствует $\sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}$ ; $\cos \frac{π}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ радианам.

ПРИМЕР 2

Задача

Перевести:

1) угол $2 π$ в градусах;

2) угол $α = \frac{3 π}{2}$ в радианах.

Решение

1) Чтобы преобразовать угол из радианов в градусы, умножьте этот угол на $β = 135^{\circ}$

Получите $\frac{360^{\circ}}{2 π}$

2) Чтобы преобразовать заданный угол от градусов к радианам, умножьте его $α = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{360^{\circ}}{2 π} = 3 \cdot 90^{\circ} = 270^{\circ}$

Получите $\frac{2 π}{360^{\circ}}$

Ответ

β = 135^{\circ} \cdot \frac{2 π}{360^{\circ}} = \frac{270^{\circ} \cdot π}{360^{\circ}} = \frac{3 π}{4}

На единичном круге вы также можете найти углы, которые больше 360 градусов. Так как значения синуса и косинуса на тригонометрическом круге повторяются каждый 1) $α = 270^{\circ}$ ; 2) $β = \frac{3 π}{4}$

ПРИМЕР 3

Задача

Найдите с помощью синусоидальной единицы угла $α = 750^{\circ}$

Решение

Представьте себе этот угол следующим образом. $α = 750^{\circ} = 360^{\circ} + 360^{\circ} + 30^{\circ}$

Таким образом, необходимо сделать два полных круга круга, а затем остановиться в точке, соответствующей углу в $30^{\circ}$ (рис.1). Синус соответствует ординате этой точки, то есть $\sin 750^{\circ} = \frac{1}{2}$